Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : QCM et loi binomiale

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Exercice 3 — 4,75 points

Dominique répond à un QCM comportant 10 questions. Pour chaque question, il est proposé 4 réponses dont une seule est exacte. Dominique répond au hasard à chacune des 10 questions en cochant, pour chaque question, exactement une case parmi les 4.

Pour chacune des questions, la probabilité qu'il réponde correctement est donc $\frac{1}{4}$ .

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses à ce QCM.

1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et donner les paramètres de cette loi.

2. Quelle est la probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses ? Arrondir le résultat à $1 0^{- 4}$ près.

3. Donner l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. On suppose dans cette question qu'une bonne réponse rapporte un point et qu'une mauvaise réponse fait perdre $0, 5$ point. La note finale peut donc être négative.

On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus.

4.a) Calculer $P (Y = 10)$ , on donnera la valeur exacte du résultat.

4.b) À partir de combien de bonnes réponses la note finale de Dominique est-elle positive ? Justifier.

4.c) Calculer $P (Y ⩽ 0)$ , on donnera une valeur approchée au centième.

4.d) Montrer que $Y = 1, 5 X - 5$ .

4.e) Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$ .

Corrigé

1. Pour chaque question, il y a deux issues possibles : Dominique donne la bonne réponse, avec une probabilité $p = \frac{1}{4}$ , ou Dominique donne une mauvaise réponse. On effectue cette expérience élémentaire 10 fois et de façon indépendante.

La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de bonnes réponses à ce QCM suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 10 et p = \frac{1}{4}$ .

2. La probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses est : $P (X = 5) = (5 10) \times (\frac{1}{4})^{5} \times (1 - \frac{1}{4})^{10 - 5} \approx 0, 0584 .$

3. $E (X) = n p = 10 \times \frac{1}{4} = 2, 5$ . En procédant comme Dominique, un élève aura en moyenne $2, 5$ bonnes réponses.

4.a) Pour réaliser l'événement $(Y = 10)$ , il faut que toutes les réponses soient justes, donc : $P (Y = 10) = P (X = 10) = (\frac{1}{4})^{10} .$

4.b) On exprime la valeur de $Y$ en fonction de celle de $X$ .

On a vu que $(Y = 10)$ équivaut à $(X = 10)$ .
Si $X = 9$ , il y a 9 bonnes réponses qui rapportent 9 points, et une mauvaise réponse qui retire un demi-point ; donc $Y = 8, 5$ .
Si $X = 8$ , il y a 8 bonnes réponses qui rapportent 8 points, et deux mauvaises réponses qui retirent deux demi-points ; donc $Y = 7$ .
Etc.

On regroupe ces résultats possibles dans un tableau.

$X$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$Y$	$- 5$	$- 3, 5$	$- 2$	$- 0, 5$	$1$	$2, 5$	$4$	$5, 5$	$7$	$8, 5$	$10$

La note finale de Dominique est positive à partir de $4$ bonnes réponses.

4.c) D'après le tableau précédent, $P (Y ⩽ 0) = P (X ⩽ 3)$ . Donc $P (Y ⩽ 0) \approx 0, 78$ .

4.d) $X$ prend toutes les valeurs entières entre 0 et 10. Pour $X$ bonnes réponses qui rapportent $X$ points, il y a $10 - X$ mauvaises réponses qui retirent $0, 5 (10 - X)$ points. Donc : $Y = X - 0, 5 (10 - X) = X - 5 + 0, 5 X = 1, 5 X - 5 .$

4.e) D'après la linéarité de l'espérance mathématique, on a : $E (Y) = E (1, 5 X - 5) = 1, 5 \times E (X) - 5 = 1, 5 \times 2, 5 - 5 = - 1, 25 .$

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