Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : QCM et loi binomiale

Exercice 3 — 4,75 points

Dominique répond à un QCM comportant 10 questions. Pour chaque question, il est proposé 4 réponses dont une seule est exacte. Dominique répond au hasard à chacune des 10 questions en cochant, pour chaque question, exactement une case parmi les 4.

Pour chacune des questions, la probabilité qu'il réponde correctement est donc $\frac{1}{4}$.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses à ce QCM.

1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et donner les paramètres de cette loi.

2. Quelle est la probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près.

3. Donner l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. On suppose dans cette question qu'une bonne réponse rapporte un point et qu'une mauvaise réponse fait perdre $0,5$ point. La note finale peut donc être négative.

On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus.

4.a) Calculer $P(Y=10)$, on donnera la valeur exacte du résultat.

4.b) À partir de combien de bonnes réponses la note finale de Dominique est-elle positive ? Justifier.

4.c) Calculer $P(Y⩽0)$, on donnera une valeur approchée au centième.

4.d) Montrer que $Y=1,5X-5$.

4.e) Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.