Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Quantité de médicament dans l'organisme (suites)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de 2 mL d'un médicament. On introduit la suite $(u_{n})$ telle que le terme $u_{n}$ représente la quantité de médicament, exprimée en mL, présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament. On a $u_{1} = 2$ et :

$u_{n + 1} = 2 + 0, 8 u_{n}$

pour tout entier naturel $n$ strictement positif.

Partie A

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.

1. Calculer la valeur $u_{2}$ .

2. Montrer par récurrence que :

$u_{n} = 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}$

pour tout entier naturel $n$ strictement positif.

3. Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_{N} ⩾ 10$ admet-elle des solutions ? Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL. Justifier votre démarche.

Partie B

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du patient au cours du temps. On définit pour cela la suite $(S_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par

$S_{n} = \frac{u _{1} + u _{2} + \dots + u _{n}}{n}$

On admet que la suite $(S_{n})$ est croissante.

1. Calculer $S_{2}$ .

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif,

$u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = 10 n - 40 + 40 \times 0, 8^{n}$

3. Calculer $n \to + \infty lim S_{n}$ .

4. On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python :

1  def mystere(k) :
2      n = 1
3      s = 2
4      while s < k :
5          n = n + 1
6          s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n
7      return n

Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?

5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10.

Corrigé

Partie A

1. On a : $u_{2} = 2 + 0, 8 u_{1} = 2 + 0, 8 \times 2 = 2 + 1, 6 = 3, 6$ .

Après deux prises du médicament, le patient a 3,6 mL de médicament dans son organisme.

2. Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose $P_{n}$ , l'affirmation : « $u_{n} = 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}$ ».

Initialisation : On a, d'une part, $u_{1} = 2$ d'après l'énoncé. Et, d'autre part, $10 - 8 \times 0, 8^{1 - 1} = 10 - 8 \times 0, 8^{0} = 10 - 8 \times 1 = 2$ . On constate que pour $n = 1$ , l'affirmation $P_{1}$ est vraie.

Hérédité : Pour $n$ entier naturel non nul, on suppose l'affirmation $P_{n}$ vraie, c'est-à-dire « $u_{n} = 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}$ ».

On veut montrer que l'affirmation $P_{n + 1}$ est vraie. On a :

$u_{n + 1} = 2 + 0, 8 u_{n} par d e ˊ finition de la suite (u_{n}) = 2 + 0, 8 (10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}) par hypoth e ˋ se de r e ˊ currence = 2 + 0, 8 \times 10 - 0, 8 \times 8 \times 0, 8^{n - 1} = 2 + 8 - 8 \times 0, 8 \times 0, 8^{n - 1} = 10 - 8 \times 0, 8^{n}$

c'est l'égalité $P_{n + 1}$ .

Conclusion : L'affirmation est vraie au rang 1, et, pour tout entier naturel non nul $n$ , si $P_{n}$ est vraie alors $P_{n + 1}$ l'est aussi. Donc, d'après le principe de démonstration par récurrence, $u_{n} = 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.

3. Par connaissance des limites des suites géométriques, comme $- 1 < 0, 8 < 1$ , on en déduit : $n \to + \infty lim 0, 8^{n - 1} = n \to + \infty lim 0, 8^{n} = 0$ . Par limite de la somme :

$n \to + \infty lim S_{n} — ici n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim (10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}) = 10 - 8 \times 0 = 10$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, partie par partie, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Corrigé complet gratuit →