Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Quantité de médicament dans l'organisme (suites)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de 2 mL d'un médicament. On introduit la suite $(u_{n})$ telle que le terme $u_{n}$ représente la quantité de médicament, exprimée en mL, présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament. On a $u_{1} = 2$ et :

$u_{n + 1} = 2 + 0, 8 u_{n}$

pour tout entier naturel $n$ strictement positif.

Partie A

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.

1. Calculer la valeur $u_{2}$ .

2. Montrer par récurrence que :

$u_{n} = 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}$

pour tout entier naturel $n$ strictement positif.

3. Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_{N} ⩾ 10$ admet-elle des solutions ? Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL. Justifier votre démarche.

Partie B

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du patient au cours du temps. On définit pour cela la suite $(S_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par

$S_{n} = \frac{u _{1} + u _{2} + \dots + u _{n}}{n}$

On admet que la suite $(S_{n})$ est croissante.

1. Calculer $S_{2}$ .

2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif,

$u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = 10 n - 40 + 40 \times 0, 8^{n}$

3. Calculer $n \to + \infty lim S_{n}$ .

4. On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python :

1  def mystere(k) :
2      n = 1
3      s = 2
4      while s < k :
5          n = n + 1
6          s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n
7      return n

Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?

5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10.

Corrigé

Partie A

1. On a : $u_{2} = 2 + 0, 8 u_{1} = 2 + 0, 8 \times 2 = 2 + 1, 6 = 3, 6$ .

Après deux prises du médicament, le patient a 3,6 mL de médicament dans son organisme.

2. Pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose $P_{n}$ , l'affirmation : « $u_{n} = 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}$ ».

Initialisation : On a, d'une part, $u_{1} = 2$ d'après l'énoncé. Et, d'autre part, $10 - 8 \times 0, 8^{1 - 1} = 10 - 8 \times 0, 8^{0} = 10 - 8 \times 1 = 2$ . On constate que pour $n = 1$ , l'affirmation $P_{1}$ est vraie.

Hérédité : Pour $n$ entier naturel non nul, on suppose l'affirmation $P_{n}$ vraie, c'est-à-dire « $u_{n} = 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}$ ».

On veut montrer que l'affirmation $P_{n + 1}$ est vraie. On a :

$u_{n + 1} = 2 + 0, 8 u_{n} par d e ˊ finition de la suite (u_{n}) = 2 + 0, 8 (10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}) par hypoth e ˋ se de r e ˊ currence = 2 + 0, 8 \times 10 - 0, 8 \times 8 \times 0, 8^{n - 1} = 2 + 8 - 8 \times 0, 8 \times 0, 8^{n - 1} = 10 - 8 \times 0, 8^{n}$

c'est l'égalité $P_{n + 1}$ .

Conclusion : L'affirmation est vraie au rang 1, et, pour tout entier naturel non nul $n$ , si $P_{n}$ est vraie alors $P_{n + 1}$ l'est aussi. Donc, d'après le principe de démonstration par récurrence, $u_{n} = 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.

3. Par connaissance des limites des suites géométriques, comme $- 1 < 0, 8 < 1$ , on en déduit : $n \to + \infty lim 0, 8^{n - 1} = n \to + \infty lim 0, 8^{n} = 0$ . Par limite de la somme :

$n \to + \infty lim S_{n} — ici n \to + \infty lim u_{n} = n \to + \infty lim (10 - 8 \times 0, 8^{n - 1}) = 10 - 8 \times 0 = 10$

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'au bout d'un nombre important de prises de ce médicament, l'organisme du patient contiendra une quantité de médicament qui tend vers 10 mL.

4. Soit $N$ un entier naturel non nul, étudions l'inéquation :

$u_{N} ⩾ 10 ⟺ 10 - 8 \times 0, 8^{N - 1} ⩾ 10 ⟺ - 8 \times 0, 8^{N - 1} ⩾ 0$

Le membre de gauche est un réel strictement négatif (car $8$ et $0, 8$ sont strictement positifs) et ne peut être supérieur ou égal à 0. L'inéquation n'admet donc pas de solution.

Dans le contexte de l'exercice, cela s'interprète par le comportement de la suite, qui est donc majorée (strictement) par 10 : la quantité de médicament dans l'organisme de l'individu est toujours strictement inférieure à 10 mL, quel que soit le nombre de prises du médicament effectuées.

5. On résout une inéquation différente, avec $n$ un entier naturel non nul :

$u_{n} > 9 ⟺ 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1} > 9 ⟺ - 8 \times 0, 8^{n - 1} > - 1 ⟺ 0, 8^{n - 1} < \frac{1}{8} car - 8 < 0 ⟺ ln (0, 8^{n - 1}) < ln (\frac{1}{8}) la fonction ln e ˊ tant strictement croissante sur R_{+}^{*} ⟺ (n - 1) ln (0, 8) < - ln (8) d’apr e ˋ s les propri e ˊ t e ˊ s de la fonction ln ⟺ n - 1 > \frac{- ln ( 8 )}{ln ( 0 , 8 )} car ln (0, 8) < 0 ⟺ n > 1 - \frac{ln ( 8 )}{ln ( 0 , 8 )}$

Or, $1 - \frac{ln ( 8 )}{ln ( 0 , 8 )} \approx 10, 3$ .

Comme on résout pour $n$ entier naturel non nul, les solutions sont les entiers supérieurs ou égaux à 11.

C'est à partir de $11$ prises successives du médicament que la quantité de celui-ci dans l'organisme du patient dépasse strictement les 9 mL.

Partie B

1. On a $S_{2} = \frac{u _{1} + u _{2}}{2} = \frac{2 + 3 , 6}{2} = 2, 8$ .

2. Pour donner l'expression explicite de la somme, on utilise l'expression explicite du terme général de la suite $(u_{n})$ , établie à la question A.2.

$u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = 10 - 8 \times 0, 8^{0} + 10 - 8 \times 0, 8^{1} + \dots + 10 - 8 \times 0, 8^{n - 1} = 10 + 10 + \dots + 10 - 8 \times (0, 8^{0} + 0, 8^{1} + \dots + 0, 8^{n - 1}) = 10 \times n - 8 \times 1 \times \frac{1 - 0 , 8 ^{n}}{1 - 0 , 8} formule connue = 10 n - \frac{8}{0 , 2} \times (1 - 0, 8^{n}) = 10 n - 40 \times (1 - 0, 8^{n}) = 10 n - 40 + 40 \times 0, 8^{n} en d e ˊ veloppant$

On arrive donc bien à l'expression annoncée.

3. On déduit de la question précédente que, pour tout $n$ entier naturel non nul : $S_{n} = 10 - \frac{40}{n} + \frac{40}{n} \times 0, 8^{n}$ .

On a, par limite du quotient : $n \to + \infty lim \frac{40}{n} = 0$ ; de plus, par limite des suites géométriques, comme $- 1 < 0, 8 < 1$ : $n \to + \infty lim 0, 8^{n} = 0$ . Ainsi, par limite de la somme et du produit :

$n \to + \infty lim S_{n} = n \to + \infty lim (10 - \frac{40}{n} + \frac{40}{n} \times 0, 8^{n}) = 10$

La quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du patient tend elle aussi vers 10 mL.

4. Cette valeur est une fonction de seuil : elle détermine l'indice à partir duquel la valeur de $S_{n}$ franchit le seuil $k$ pour la première fois. mystere(9) renvoie donc le premier entier naturel non nul $n$ pour lequel la quantité moyenne de médicament dans l'organisme du patient depuis le début de la prise devient supérieure ou égale à 9 mL.

5. Cette valeur est nécessairement strictement supérieure à 10, puisque l'on a établi à la fin de la partie A que c'est seulement à la onzième prise de médicament que la quantité présente à ce moment-là dans le corps du patient dépasse les 9 mL.

Avant $n = 11$ , les valeurs de la suite $(u_{n})$ sont toutes strictement inférieures à 9, et donc leur moyenne le sera aussi. Il est donc impossible que $S_{n}$ soit supérieur à 9 pour un rang naturel $n$ inférieur ou égal à 10.

La fonction mystere doit donc renvoyer une valeur (un indice) strictement supérieure à 10. Elle renverra en réalité 40 (on a $S_{39} \approx 8, 974$ et $S_{40} \approx 9, 001$ ).

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