Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Suite d'intégrales $u_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{1 - x} d x$

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_{n}$ définie sur l'intervalle $[0; 1]$ par : $f_{n} (x) = x^{n} e^{1 - x}$ .

On admet que la fonction $f_{n}$ est dérivable sur $[0; 1]$ et on note $f_{n}^{'}$ sa fonction dérivée.

Partie A

Dans cette partie on étudie le cas où $n = 1$ .

On étudie donc la fonction $f_{1}$ définie sur $[0; 1]$ par : $f_{1} (x) = x e^{1 - x}$

1. Montrer que $f_{1}^{'} (x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de $[0; 1 [$ .

2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f_{1}$ sur l'intervalle $[0; 1]$ .

3. En déduire que l'équation $f_{1} (x) = 0, 1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0; 1]$ .

Partie B

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x c’est- a ˋ -dire u_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{1 - x} d x .$ On admet que $u_{1} = e - 2$ .

1. a. Justifier que pour tout $x \in [0; 1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 ⩽ x^{n + 1} ⩽ x^{n} .$

b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n} .$

c. Montrer que la suite $(u_{n})$ est convergente.

2. a. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $u_{n + 1} = (n + 1) u_{n} - 1.$

b. On considère le script Python ci-dessous définissant la fonction $suite()$ :

from math import exp

def suite():
    u = ...
    for n in range (1, ...):
        u = ...
    return

Recopier et compléter le script Python ci-dessus pour que la fonction $suite()$ renvoie la valeur de $\int_{0}^{1} x^{6} e^{1 - x} d x$ .

3. a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $u_{n} ⩽ \frac{e}{n + 1} .$

b. En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ .

Corrigé

Partie A

1. $f_{1} (x) = x e^{1 - x}$ donc $f_{1}^{'} (x) = 1 \times e^{1 - x} + x \times (- e^{1 - x}) = (1 - x) e^{1 - x}$ .

On sait que pour tout $x \in R$ on a $e^{1 - x} > 0$ , donc $f_{1}^{'} (x)$ est du signe de $1 - x$ . Or, $1 - x ⩾ 0 ⟺ x ⩽ 1$ . Donc, pour tout $x \in [0; 1 [$ , $f_{1}^{'} (x)$ est strictement positive.

2. (figure : tableau de variations de $f_{1}$ sur $[0; 1]$ ; $f_{1}^{'}$ de signe $+$ , $f_{1}$ croissante de $f_{1} (0) = 0$ à $f_{1} (1) = 1$ ) $f_{1} (0) = 0 \times e^{1 - 0} = 0 f_{1} (1) = 1 \times e^{1 - 1} = e^{0} = 1$

3. La fonction $f_{1}$ est continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur $[0; 1]$ , avec $f_{1} (0) = 0 < 0, 1$ et $f_{1} (1) = 1 > 0, 1$ , donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f_{1} (x) = 0, 1$ admet une unique solution dans $[0; 1]$ .

Partie B

1. a. On sait que pour tout $x \in R$ , $e^{1 - x} > 0$ . Donc, d'après la question précédente :

$x ⩾ 0$ donc $x^{n} ⩾ 0$ ; on multiplie l'inégalité précédente par $x^{n}$ : $0 \times x^{n} ⩽ x \times x^{n} ⩽ 1 \times x^{n} ⟺ 0 ⩽ x^{n + 1} ⩽ x^{n}$

On a donc démontré que pour tout entier naturel $n$ , on a : $0 ⩽ x^{n + 1} ⩽ x^{n}$ .

b. On sait que pour tout $x \in R$ , $e^{1 - x} > 0$ , donc, d'après la question précédente : $0 ⩽ x^{n + 1} e^{1 - x} ⩽ x^{n} e^{1 - x}$

Donc, d'après la positivité de l'intégration : $0 ⩽ \int_{0}^{1} x^{n + 1} e^{1 - x} d x ⩽ \int_{0}^{1} x^{n} e^{1 - x} d x ⟺ 0 ⩽ u_{n + 1} ⩽ u_{n}$

c. D'après la question précédente, puisque $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ , la suite $(u_{n})$ est décroissante. De plus, puisque $0 ⩽ u_{n}$ , elle est minorée par $0$ .

Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_{n})$ est convergente vers une limite positive ou nulle.

2. a. On suit que $u$ et $v$ dérivables on a : $\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x$ .

Posons $u^{'} (x) = e^{1 - x}$ et $v (x) = x^{n + 1}$ . Alors $u (x) = - e^{1 - x}$ et $v^{'} (x) = (n + 1) x^{n}$ .

On a donc : $\int_{0}^{1} x^{n + 1} e^{1 - x} d x = [- x^{n + 1} e^{1 - x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (n + 1) x^{n} (- e^{1 - x}) d x$ $= - 1^{n + 1} e^{1 - 1} - (- 0^{n + 1} e^{1 - 0}) - (n + 1) \int_{0}^{1} - x^{n} e^{1 - x} d x$ $= - 1 + (n + 1) \int_{0}^{1} x^{n} e^{1 - x} d x$

On a donc bien : $u_{n + 1} = (n + 1) u_{n} - 1$ .

b. On complète le script Python en bleu ci-dessus pour que la fonction $suite()$ renvoie la valeur de $\int_{0}^{1} x^{6} e^{1 - x} d x$ :

from math import exp

def suite():
    u = exp(1)-2
    for n in range (1,6):
        u = (n+1) * u - 1
    return u

3. a. On se place dans l'intervalle d'intégration : soit $x \in [0; 1]$ , donc $0 ⩽ x ⩽ 1 ⟹ 1 - x ⩽ 1 ⟹ e^{1 - x} ⩽ e (croissance de la fonction exponentielle)$ $⟹ x^{n} e^{1 - x} ⩽ e x^{n} (x^{n} ⩾ 0)$ $⟹ \int_{0}^{1} x^{n} e^{1 - x} d x ⩽ e \int_{0}^{1} x^{n} d x (croissance de l’int e ˊ gration)$ $⟹ u_{n} ⩽ e [\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1} = u_{n} ⩽ \frac{e}{n + 1}$

b. On sait que pour tout $n$ , on a $0 ⩽ u_{n}$ ; donc $0 ⩽ u_{n} ⩽ \frac{e}{n + 1}$ .

Or $n \to + \infty lim \frac{e}{n + 1} = 0$ , donc, d'après le théorème des gendarmes, on peut dire que : $n \to + \infty lim u_{n} = 0$

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Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Suite d'intégrales un​=∫01​xne1−xdx

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