Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Suite d'intégrales $u_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{1-x}dx$

On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0;1]$ par : $f_n(x)=x^n{e}^{1-x}$.

On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0;1]$ et on note $f_n^{\prime }$ sa fonction dérivée.

Partie A

Dans cette partie on étudie le cas où $n=1$.

On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $[0;1]$ par : $$f_1(x)=x{e}^{1-x}$$

1. Montrer que $f_1^{\prime }(x)$ est strictement positive pour tout réel $x$ de $[0;1[$.

2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $[0;1]$.

3. En déduire que l'équation $f_1(x)=0,1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0;1]$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $$u_n={\int }_0^1{f}_n(x)dx\text{c’est-aˋ-dire}{u}_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{1-x}dx.$$ On admet que $u_1=e-2$.

1. a. Justifier que pour tout $x\in [0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, $$0⩽x^{n+1}⩽x^n.$$

b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $$0⩽u_{n+1}⩽u_n.$$

c. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

2. a. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $$u_{n+1}=(n+1)u_n-1.$$

b. On considère le script Python ci-dessous définissant la fonction $\text{suite()}$ :

from math import exp

def suite():
    u = ...
    for n in range (1, ...):
        u = ...
    return

Recopier et compléter le script Python ci-dessus pour que la fonction $\text{suite()}$ renvoie la valeur de ${\int }_0^1{x}^6{e}^{1-x}dx$.

3. a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $$u_n⩽\frac{e}{n+1}.$$

b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.