Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Suite définie par récurrence, Python et logarithme

def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(......):
        L.append(u)
        u=...........
    return(.....)

>>> suite(9)
[ 5, 5.091042453358316, 5.131953749864703,
5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954,
5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642]

def mystere(n):
    L = suite(n)
    c = 1
    for i in range(n - 1):
        if L[i] > L[i + 1]:
            c = 0
    return c

>>> mystere(10000)
1

Partie A : Exploitation de programmes Python

1. On complète le script Python ci-dessous pour que suite(k) renvoie la liste des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)$.

def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(k):
        L.append(u)
        u = 2 + log( u**2 - 3 )
    return(L)

2. La suite $(u_n)$ semble croissante, mais on ne peut pas se prononcer sur sa limite.

3. La fonction mystere renvoie $0$ s'il existe un indice $i$ pour lequel $L[i]>L[i+1]$, c'est-à-dire $u_i>u_{i+1}$. Comme mystere(10000) renvoie $1$, cela veut dire que pour tout $i⩽9999$, on a : $u_i⩽u_{i+1}$.

Cela ne contredit pas la conjecture faite sur la croissance de la suite $(u_n)$.

Partie B : Étude de la convergence de la suite $(u_n)$

1. $g^{\prime }(x)=0+\frac{2x}{x^2-3}=\frac{2x}{x^2-3}$.

Sur $[2;+\infty [$, $2x>0$ et $x^2-3$ est aussi positif car $x^2-3>1>0$ donc $g^{\prime }(x)>0$ sur $[2;+\infty [$, ce qui prouve que la fonction $g$ est croissante sur $[2;+\infty [$.

2. a. On démontre par récurrence que la propriété $4⩽u_n⩽u_{n+1}⩽6$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

• Initialisation

$u_0=5$ et $u_1=2+\ln \left(5^2-3\right)=2+\ln (22)\approx 5,09$.

Donc $4⩽u_0⩽u_1⩽6$ ; la propriété est vraie au rang $0$.

• Hérédité

On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $4⩽u_n⩽u_{n+1}⩽6$.

D'après la définition de la fonction $g$, on a $u_{n+1}=g(u_n)$ pour tout $n$.

On sait que la fonction $g$ est croissante sur $[2;+\infty [$ ; donc de l'inégalité $4⩽u_n⩽u_{n+1}⩽6$, on déduit $g(4)⩽g(u_n)⩽g(u_{n+1})⩽g(6)$.

$g(4)\approx 4,56$ ; $g(u_n)=u_{n+1}$ ; $g(u_{n+1})=u_{n+2}$ et $g(6)\approx 5,5$.

On a donc $4,5⩽u_{n+1}⩽u_{n+2}⩽5,5$, ce qui entraîne $4⩽u_{n+1}⩽u_{n+2}⩽6$.

La propriété est donc héréditaire.

• Conclusion

La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire pour tout $n⩾0$ donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

On a donc démontré que, pour tout $n$ : $4⩽u_n⩽u_{n+1}⩽6$.

b. D'après la question précédente, pour tout $n$, on a :

• $u_n⩽u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est croissante ;
• $u_n⩽6$ donc la suite $(u_n)$ est majorée.

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, elle est convergente.

Partie C : Étude de la valeur de la limite

1. a. D'après le tableau de variations de $f$, on voit que $f(2)=0$. On complète le tableau :

(tableau de variations de $f$ sur $[2;+\infty [$ : $f(2)=0$ ; $f$ croît jusqu'au maximum $\ln (6)-1$ atteint en $x=3$ ; puis $f$ décroît vers $-\infty$ ; la solution $\beta$ se situe dans $[3;+\infty [$.)

Donc l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $[2;+\infty [$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta \in [3;+\infty [$.

b. On a vu que $f(2)=0$ : la première solution est $\alpha =\boxed{2}$.

À la calculatrice, on trouve successivement :

• $f(5)<0$ et $f(6)$ donc $\beta \in [5;6]$ ;
• $f(5,1)<0<f(5,2)$ donc $\beta \in [5,1;5,2]$ ;
• $f(5,16)<0<f(5,17)$ donc $\beta \in [5,16;5,17]$ ;
• $f(5,163)<0<f(5,164)$ donc $\beta \in [5,163;5,164]$.

Donc $5,164$ une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$.

2. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.

$f(x)=g(x)-x$ donc, comme $g(x)=u_{n+1}$, par passage à la limite on a $g(\ell )=\ell$, ce qui équivaut à $f(\ell )=0$.

$u_0=5$ et la suite $(u_n)$ est croissante donc $\ell ⩾5$.

$\ell ⩾5$ et $\ell$ vérifie $f(\ell )=0$ ; d'après les questions précédentes, on peut en déduire que $\ell =\beta$. Ainsi $\boxed{\ell =\beta \approx 5,164}$.