Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Suite définie par récurrence, Python et logarithme

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=2+\ln \left(u_n^2-3\right).$$ On admet que cette suite est bien définie.

Partie A : Exploitation de programmes Python

1. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour que suite(k) qui prend en paramètre un entier naturel $k$, renvoie la liste des $k$ premiers termes de la suite $(u_n)$.

Remarque : On précise que, pour tout réel strictement positif a, log(a) renvoie la valeur du logarithme népérien de a.

(script Python :)

def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(......):
        L.append(u)
        u=...........
    return(.....)

2. On a exécuté suite(9) ci-dessous. Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ et l'autre sur son éventuelle convergence.

(sortie Python :)

>>> suite(9)
[ 5, 5.091042453358316, 5.131953749864703,
5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954,
5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642]

3. On a ensuite créé la fonction mystere(n) donnée ci-dessous et exécuté mystere(10000), ce qui a renvoyé $1$.

(script Python :)

def mystere(n):
    L = suite(n)
    c = 1
    for i in range(n - 1):
        if L[i] > L[i + 1]:
            c = 0
    return c

>>> mystere(10000)
1

Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $(u_n)$ ? Justifier.

Partie B : Étude de la convergence de la suite $(u_n)$

On considère la fonction $g$ définie sur $[2;+\infty [$ par : $$g(x)=2+\ln \left(x^2-3\right)$$ On admet que $g$ est dérivable sur $[2;+\infty [$ et on note $g^{\prime }$ sa fonction dérivée.

1. Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $[2;+\infty [$.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $$4⩽u_n⩽u_{n+1}⩽6.$$

b. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

Partie C : Étude de la valeur de la limite

On considère la fonction $f$ définie sur $[2;+\infty [$ par : $$f(x)=2+\ln \left(x^2-3\right)-x.$$ On admet que $f$ est dérivable sur $[2;+\infty [$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.

On donne le tableau de variations de $f$ suivant. On ne demande aucune justification.

(tableau de variations de $f$ sur $[2;+\infty [$ : en $x=2$, $f$ vaut $0$ ; $f$ croît jusqu'à un maximum $\ln (6)-1$ atteint en $x=3$ ; puis $f$ décroît vers $-\infty$ quand $x\to +\infty$.)

1. a. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $[2;+\infty [$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha <\beta$.

b. Donner la valeur exacte de $\alpha$ et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$.

2. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $f(\ell )=0$ et déterminer $\ell$.

def suite(k):
    L = []
    u = 5
    for i in range(k):
        L.append(u)
        u = 2 + log( u**2 - 3 )
    return(L)