Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Suite définie par une fonction avec exponentielle et logarithme

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=\ln \left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}+2\right).$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\ln (9)$ et, pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1}=f(u_n).$$

1. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2. Montrer que $f(2\ln (2))=2\ln (2)$.

3. Montrer que $u_1=\ln (5)$.

4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a :

$$2\ln (2)⩽u_{n+1}⩽u_n.$$

5. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

6. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^2-X-2=0$.

b. En déduire l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation :

$${\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}-2=0$$

c. En déduire l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x)=x$.

d. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.