Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Suite définie par une fonction avec exponentielle et logarithme

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a :

$$\boxed{f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}}{{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}+2}.}$$

On sait que, pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}>0$, on en déduit que $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}>0$ et ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}+2>0$.

Les deux termes du quotient sont supérieurs à zéro, donc $f^{\prime }(x)$ est supérieur à zéro sur $\mathbb{R}$, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

2. On sait que $u=0$, donc $\ln ({\mathrm{e}}^u)=u$, donc en particulier

$$f(2\ln (2))=\ln \left({\mathrm{e}}^{\frac{2\ln (2)}{2}}+2\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^{\ln (2)}+2\right)=\ln (2+2)=\ln (4)=\ln \left(2^2\right)=\boxed{2\ln (2)}.$$

3. $$u_1=f(u_0)=\ln \left({\mathrm{e}}^{\frac{\ln (9)}{2}}+2\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^{\ln \left(9^{\frac{1}{2}}\right)}+2\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^{\ln (3)}+2\right)=\ln (3+2)=\boxed{\ln (5)}.$$

4. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $2\ln (2)⩽u_{n+1}⩽u_n$.

• Initialisation

La fonction ln est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc $\ln (4)⩽\ln (5)⩽\ln (9)$ c'est-à-dire $2\ln (2)⩽u_1⩽u_0$. La propriété est donc vérifiée pour $n=0$.

• Hérédité

Supposons que pour $n\in \mathbb{N}$ on ait $2\ln (2)⩽u_{n+1}⩽u_n$.

On sait que la fonction $f$ est strictement croissante donc :

$$2\ln (2)⩽u_{n+1}⩽u_n⟹f(2\ln (2))⩽f(u_{n+1})⩽f(u_n)⟹2\ln (2)⩽u_{n+2}⩽u_{n+1}$$

Le propriété est donc bien héréditaire.

• Conclusion

La propriété est vérifiée pour $n=0$, et elle est héréditaire pour tout $n\in \mathbb{N}$ donc d'après le principe de récurrence, on a, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $2\ln (2)⩽u_{n+1}⩽u_n$.

5. D'après la question précédente on a, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}⩽u_n$, ce qui montre que la suite $(u_n)$ est décroissante.

De plus, pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $u_n⩾2\ln (2)$, donc la suite $(u_n)$ est minorée.

Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite supérieure ou égale à $2\ln (2)$.

6. a. On résout dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^2-X-2=0$. Calcul du discriminant :

$$\Delta =(-1{)}^2-4\times 1\times (-2)=1+8=\boxed{9}.$$

$\Delta >0$ donc il y a deux racines distinctes dans $\mathbb{R}$ :

$$X_1=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\times 1}=\frac{1-3}{2}=-1;X_2=\frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\times 1}=\frac{1+3}{2}=2.$$

$$\boxed{\mathcal{S}=\{-1;2\}}$$

b. $${\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}-2=0⟺{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}\times 2}-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}-2=0⟺{\left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}\right)}^2-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}-2=0$$

Posons $X={\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}$. On a alors :

$${\left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}\right)}^2-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}-2=0⟺X^2-X-2=0$$

D'après la question précédente, les solutions de l'équation $X^2-X-2=0$ sont $X_1=-1$ et $X_2=2$. On a donc :

• ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}=-1$ (impossible car ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}>0$)
• ${\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}=2⟺\frac{x}{2}=\ln (2)⟺x_2=2\ln (2)$

$$\boxed{\mathcal{S}=\{2\ln (2)\}}$$

c. On a vu à la question 5. que la suite $(u_n)$ converge. Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Comme $f$ est une fonction continue, d'après le théorème du point fixe, on a $\ell$ qui vérifie $f(\ell )=\ell$.

On considère donc l'équation $f(x)=x$ :

$$f(x)=x⟺\ln \left({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}+2\right)=x⟺{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}+2={\mathrm{e}}^x⟺{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}-2=0.$$

D'après la question précédente la solution de cette équation est $x=2\ln (2)$, donc :

$$\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2\ln (2).}$$

d. D'après ce qui précède, la limite de la suite $(u_n)$ est $\boxed{2\ln (2)}$.