Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Suites définies par récurrence et logarithme

On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : $$\{\begin{array}{l}{v}_0=\ln (4)\\ v_{n+1}=\ln \left(-1+2{\mathrm{e}}^{v_n}\right)\end{array}\text{et}{w}_n=-1+{\mathrm{e}}^{v_n}.$$ On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive.

1. Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$.

2.a. Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ est reproduite ci-dessous. Parmi les trois formules ci-dessous, choisir celle qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite $(v_n)$ dans la colonne B.

(figure : feuille de calcul)

b. Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$.

c. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_n)$.

3.a. Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n=\ln \left(1+3\times 2^n\right)$.

c. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

4. L'algorithme suivant, écrit en langage Python, renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur positive de $S$.

from math import*
def seuil(S):
    V=ln(4)
    n=0
    while V < S :
        n=n+1
        V=ln(2*exp(V)-1)
    return(n)

Justifier que cet algorithme renvoie bien un résultat, quel que soit le choix de la valeur positive de $S$.