Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Suites définies par récurrence et logarithme

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On considère les suites $(v_{n})$ et $(w_{n})$ définies pour tout entier naturel $n$ par : ${v_{0} = ln (4) v_{n + 1} = ln (- 1 + 2 e^{v_{n}}) et w_{n} = - 1 + e^{v_{n}} .$ On admet que la suite $(v_{n})$ est bien définie et strictement positive.

1. Donner les valeurs exactes de $v_{1}$ et $w_{0}$ .

2.a. Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites $(v_{n})$ et $(w_{n})$ est reproduite ci-dessous. Parmi les trois formules ci-dessous, choisir celle qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite $(v_{n})$ dans la colonne B.

	Formule
Formule 1	`LN(-1+2*EXP(B2))`
Formule 2	`=LN(-1+2*EXP(B2))`
Formule 3	`=LN(1+2*EXP(A2))`

(figure : feuille de calcul)

	A	B	C
1	$n$	$v_{n}$	$w_{n}$
2	0	1,386 294 36	3
3	1	1,945 910 15	6
4	2	2,564 949 36	12
5	3	3,218 875 82	24
6	4	3,891 820 3	48
7	5	4,574 710 98	96
8	6	5,262 690 19	192
9	7	5,953 243 33	384
10	8	6,645 090 97	768
11	9	7,337 587 74	1 536
12	10	8,030 409 56	3 072
13	11	8,723 394 92	6 144
14	12	9,416 459 83	12 288
15	13	10,109 566 3	24 576
16	14	10,802 693 2	49 152
17	15	11,495 830 2	98 304
18	16	12,188 972 3	196 608
19	17	12,882 116 9	393 216

b. Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_{n})$ .

c. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_{n})$ .

3.a. Démontrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} = ln (1 + 3 \times 2^{n})$ .

c. Déterminer la limite de la suite $(v_{n})$ .

4. L'algorithme suivant, écrit en langage Python, renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur positive de $S$ .

from math import*
def seuil(S):
    V=ln(4)
    n=0
    while V < S :
        n=n+1
        V=ln(2*exp(V)-1)
    return(n)

Justifier que cet algorithme renvoie bien un résultat, quel que soit le choix de la valeur positive de $S$ .

Corrigé

1. $v_{1} = ln (- 1 + 2 e^{v_{0}}) = ln (- 1 + 2 e^{l n 4}) = ln (- 1 + 2 \times 4) = ln (- 1 + 8) = ln 7$ (valeur approchée lue dans le tableau).

$w_{0} = - 1 + e^{v_{0}} = - 1 + e^{l n 4} = - 1 + 4 = 3$ (valeur lue dans le tableau).

2.a. Il faut saisir la $formule 2$ .

b. On peut conjecturer que la suite $(v_{n})$ est croissante.

c. Démonstration par récurrence.

Initialisation : on a $v_{0} = ln 4$ et $v_{1} = ln 7$ : la croissance de la fonction $ln$ assure que $v_{0} < v_{1}$ .

Hérédité : on suppose que, pour $n \in N$ , $v_{n} < v_{n + 1}$ , alors : $e^{v_{n}} < e^{v_{n + 1}} (croissance de la fonction exponentielle)$ $2 e^{v_{n}} < 2 e^{v_{n + 1}} (la multiplication par + 2 respecte l’ordre)$ $- 1 + 2 e^{v_{n}} < - 1 + 2 e^{v_{n + 1}} (l’addition respecte l’ordre)$ $ln (- 1 + 2 e^{v_{n}}) < ln (- 1 + 2 e^{v_{n + 1}})$ par croissance de la fonction logarithme népérien (on a supposé la suite $(v_{n})$ bien définie, donc que tous les nombres de la forme $- 1 + 2 e^{v_{n}}$ sont strictement positifs) ; soit finalement $v_{n + 1} < v_{n + 2}$ : l'inégalité est vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion : l'inégalité est vraie au rang $0$ et, si elle est vraie au rang $n \in N$ , elle l'est aussi au rang suivant. D'après le principe de récurrence, quel que soit $n \in N$ , $v_{n} < v_{n + 1}$ .

La suite $(v_{n})$ est donc $croissante$ .

3.a. Pour tout $n \in N$ , $w_{n} = - 1 + e^{v_{n}}$ , donc : $w_{n + 1} = - 1 + e^{v_{n + 1}} = - 1 + e^{l n (- 1 + 2 e^{v_{n}})} = - 1 - 1 + 2 e^{v_{n}} = - 2 + 2 e^{v_{n}} = 2 (- 1 + e^{v_{n}}) = 2 w_{n} .$ Quel que soit $n \in N$ , $w_{n + 1} = 2 w_{n}$ : cette égalité montre que la suite $(w_{n})$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $w_{0} = 3$ .

b. On sait alors que le terme général $w_{n}$ est égal à $w_{n} = 3 \times 2^{n}$ .

Or, par définition, $w_{n} = - 1 + e^{v_{n}} = 3 \times 2^{n} ⟺ e^{v_{n}} = 1 + 3 \times 2^{n}$ .

Par croissance de la fonction logarithme népérien : $v_{n} = ln (1 + 3 \times 2^{n})$ pour tout entier naturel $n$ .

c. On sait que $n \to + \infty lim 2^{n} = + \infty$ , donc $n \to + \infty lim 3 \times 2^{n} = + \infty$ , puis $n \to + \infty lim (1 + 3 \times 2^{n}) = + \infty$ et enfin $n \to + \infty lim ln (1 + 3 \times 2^{n}) = + \infty$ .

Conclusion : $n \to + \infty lim v_{n} = + \infty$ .

4. L'algorithme permet de calculer les termes de la suite $(v_{n})$ à partir de $v_{0}$ . On vient de démontrer que la suite $(v_{n})$ n'est pas majorée. Donc, quel que soit le choix du nombre $S$ , il existe un rang $p$ tel que $v_{p} > S$ , et l'algorithme renverra ce rang $p$ .

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