Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Tétraèdre dans l'espace : orthogonalité, projeté et volume

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ . On considère les points suivants :

$A (1; 3; 0), B (- 1; 4; 5), C (0; 1; 0) et D (- 2; 2; 1) .$

1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3. Soit $Δ$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $u 2 - 1 1$ .

a. Démontrer que la droite $Δ$ est orthogonale au plan (ABC).

b. Justifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne :

$2 x - y + z + 1 = 0.$

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $Δ$ .

4. On appelle H le point de coordonnées $(- \frac{4}{3}; \frac{7}{3}; \frac{2}{3})$ . Vérifier que H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

5. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \frac{1}{3} B \times h$ , où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ sa hauteur relative à cette base.

a. Montrer que $D H = \frac{2 6}{3}$ .

b. En déduire le volume du tétraèdre ABCD.

6. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 2 k y = - 3 k z = 1 + k o u ˋ k d e ˊ crit R .$

La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Corrigé

1. On détermine les coordonnées des vecteurs $A B$ et $A C$ : $A B - 2 15$ et $A C - 1 - 2 0$ .

Ces vecteurs ont des coordonnées qui ne sont clairement pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires, et donc les trois points A, B et C ne sont pas alignés : ils déterminent bien un plan.

2. Comme le repère est orthonormal, en utilisant les coordonnées des vecteurs précédents, qui sont non nuls, on calcule le produit scalaire des vecteurs $A B$ et $A C$ :

$A B \cdot A C = - 2 \times (- 1) + 1 \times (- 2) + 5 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0.$

Les vecteurs $A B$ et $A C$ sont non nuls, mais leur produit scalaire est nul, donc les droites (AB) et (AC) sont orthogonales, et le triangle ABC est bien rectangle en A.

3. a. Calculons le produit scalaire de $u$ avec $A B$ et $A C$ , ces deux vecteurs formant une base du plan (ABC) :

$u \cdot A B = 2 \times (- 2) + (- 1) \times 1 + 1 \times 5 = - 4 - 1 + 5 = 0$ ;
$u \cdot A C = 2 \times (- 1) + (- 1) \times (- 2) + 1 \times 0 = - 2 + 2 + 0 = 0$ .

$u$ est donc orthogonal à deux vecteurs formant une base du plan (ABC), il est donc orthogonal à (ABC). Toute droite dirigée par $u$ est donc, à son tour, orthogonale à (ABC), et $Δ$ est dirigée par $u$ , donc $Δ$ est orthogonale à (ABC).

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