Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Vaccination : probabilités conditionnelles et loi binomiale

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $1 0^{- 4}$ près.

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2 %$ de la population d'un pays. Dans ce pays, $90 %$ de la population a été vaccinée contre ce virus.

On constate que $62 %$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.

On interroge au hasard une personne, et on note les évènements suivants :

$C$ : « la personne a été contaminée ».

$V$ : « la personne a été vaccinée ».

Les évènements contraires des évènements $C$ et $V$ seront notés respectivement $C$ et $V$ .

1. À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P (C)$ , $P (V)$ et la probabilité conditionnelle $P_{C} (V)$ .

2.a. Calculer $P (C \cap V)$ .

2.b. En déduire $P (C \cap V)$ .

3. Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.

(arbre de probabilités à compléter : premier embranchement $C$ / $C$ , second embranchement $V$ / $V$ )

4. Calculer $P_{V} (C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.

a. « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »

b. « Plus de $98 %$ de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »

6. On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population.

La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.

On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est $p = 0, 02$ .

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.

b. Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que $4$ personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de $20$ personnes.

Corrigé

1. On a :

$P (C) = 0, 02$ , car $2 %$ de la population du pays a été contaminée ;
$P (V) = 0, 9$ , car $90 %$ de la population a été vaccinée ;
$P_{C} (V) = 0, 62$ , car $62 %$ des personnes contaminées ont été vaccinées.

2.a. Les évènements $C$ et $C$ partitionnent l'univers, donc, d'après la formule des probabilités : $P (C \cap V) = P (C) \times P_{C} (V) = 0, 02 \times 0, 62 = 0, 0124 .$

2.b. Les évènements $C$ et $C$ partitionnent l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : $P (V) = P (C \cap V) + P (C \cap V) ⟺ P (C \cap V) = P (V) - P (C \cap V) .$ On a donc : $P (C \cap V) = P (V) - P (C \cap V) = 0, 9 - 0, 0124 = 0, 8876 .$

3. Pour compléter l'arbre de probabilité, il nous faut $P_{C} (V)$ .

Par définition : $P_{C} (V) = \frac{P ( C \cap V )}{P ( C )} = \frac{0 , 8876}{1 - P ( C )} = \frac{0 , 8876}{0 , 98} \approx 0, 9657$ au dix-millième près.

(arbre complété : depuis le nœud initial, $P (C) = 0, 02$ vers $C$ et $P (C) = 0, 98$ vers $C$ ; depuis $C$ , $0, 62$ vers $V$ et $0, 38$ vers $V$ ; depuis $C$ , $0, 9657$ vers $V$ et $0, 0343$ vers $V$ .)

4. Par définition : $P_{V} (C) = \frac{P ( V \cap C )}{P ( V )} = \frac{0 , 0124}{0 , 9} \approx 0, 0138 .$ Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'environ $1, 38 %$ des personnes vaccinées ont été contaminées par le virus.

5.a. « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »

Cette affirmation est fausse, car un peu exagérée, parmi les personnes non contaminées, environ $90, 57 %$ d'entre elles sont vaccinées, quand $9, 43 %$ d'entre elles ne le sont pas, mais le décuple de $9, 43 %$ est $94, 3 %$ , qui est donc supérieur à $90, 57 %$ .

Il y a $\frac{90 , 57}{9 , 43} \approx 9, 6$ fois plus de personnes vaccinées que non vaccinées parmi les personnes non contaminées.

5.b. « Plus de $98 %$ de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »

Cette affirmation est vraie, car on a calculé qu'environ $1, 38 %$ des personnes vaccinées ont été contaminées par le virus, donc, par complémentaire, cela implique qu'environ $98, 62 %$ des personnes vaccinées n'ont pas été contaminées. Il est donc correct de dire que c'est plus de $98 %$ .

6.a.

On a une épreuve aléatoire à deux issues. On qualifie de succès l'évènement $C$ , de probabilité $p = 0, 02$ ;
Cette épreuve est répétée $n = 20$ fois pour constituer l'échantillon de $20$ personnes. La répétition étant assimilable à des tirages successifs avec remise, on peut dire que les répétitions sont identiques et indépendantes ;
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès, donc le nombre de personnes contaminées, dans l'échantillon.

Ces trois éléments garantissent que $X$ suit la loi binomiale, de paramètres $n = 20$ et $p = 0, 02$ .

6.b. La probabilité que $4$ personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de $20$ personnes est : $P (X = 4) = (4 20) \times 0, 0 2^{4} \times 0, 9 8^{20 - 4} = 4845 \times 0, 0 2^{4} \times 0, 9 8^{16} = 5, 6 \times 1 0^{- 4} .$ Finalement, avec les consignes d'arrondi : $P (X = 4) \approx 0, 0006$ .

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