Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Vrai/Faux : droites, plans, angle et distance dans l'espace

Affirmation 1 : Vraie

$(d)$ est dirigée par $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ et l'axe des ordonnées par $\overrightarrow{ȷ}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$. Ces vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires (ils sont même orthogonaux), donc les droites ne sont ni parallèles ni confondues. L'axe des ordonnées passe par l'origine $(0;0;0)$ et est dirigé par $\overrightarrow{ȷ}$, d'où une représentation paramétrique : $$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=s\\ z=0\end{array},s\in \mathbb{R}.$$ $(d)$ et l'axe des ordonnées sont coplanaires si et seulement s'ils sont sécants, c'est-à-dire si le système suivant admet une solution : $$\{\begin{array}{l}3-2t=0\\ -1=s\\ 2-6t=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}t=1,5\\ s=-1\\ t=\frac{1}{3}\end{array}$$ Le système n'admet pas de solution : les droites n'ont pas de point commun. N'étant ni parallèles, ni confondues, ni sécantes, elles sont donc non coplanaires. L'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : Vraie

Soit $\mathcal{Q}$ le plan passant par $A$ et orthogonal à $(d)$. Le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ est normal à $\mathcal{Q}$, donc aussi $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ qui lui est colinéaire. Le plan $\mathcal{Q}$ admet donc une équation de la forme $x+0y+3z+d=0$, $d\in \mathbb{R}$. De plus $A\in \mathcal{Q}$ donc $x_A+3z_A+d=0$, soit $3+3\times (-2)+d=0$, d'où $d-3=0$ soit $d=3$. Une équation cartésienne est donc $\boxed{x+3z+3=0}$. L'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 : Fausse

Déterminons d'abord les coordonnées de C. C est un point de $(d)$, donc il existe un réel $t$ tel que $x_C=3-2t$, $y_C=-1$, $z_C=2-6t$. Or $x_C=2$, d'où $3-2t=2⟺t=\frac{1}{2}$, et alors $z_C=2-6\times \frac{1}{2}=-1$. Donc $C(2;-1;-1)$. On calcule $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$. Dans un repère orthonormé : $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\times (-1)+(-1)\times 2+1\times 1=-3.$ ${\Vert \overrightarrow{AB}\Vert }^2=2^2+(-1{)}^2+1^2=6$ donc $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{6}$ ; de même $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{6}$. Or $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)$, donc $-3=\sqrt{6}\times \sqrt{6}\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)$, soit $$\cos \left(\widehat{BAC}\right)=\frac{-3}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}.$$ Une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est donc $\boxed{\frac{2\pi }{3}}$ et non $\frac{\pi }{6}$. L'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4 : Vraie

H est le projeté orthogonal de B sur $\mathcal{P}$ : c'est l'intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite $\Delta$ orthogonale à $\mathcal{P}$ passant par B. Le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$, normal à $\mathcal{P}$, est un vecteur directeur de $\Delta$. Comme $B(5;-4;-1)\in \Delta$ : $$\Delta :\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-4\\ z=-1+3t\end{array},t\in \mathbb{R}.$$ L'intersection avec $\mathcal{P}$ donne : $(5+t)+3(-1+3t)-7=0⟺10t=5⟺t=\frac{1}{2}$. Le point H a donc pour coordonnées $H\left(\frac{11}{2};-4;\frac{1}{2}\right)$. On a $\overrightarrow{BH}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{3}{2}\end{array}\right)$, d'où $${\Vert \overrightarrow{BH}\Vert }^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+0^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{10}{4},\text{donc}\Vert \overrightarrow{BH}\Vert =\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}.$$ La distance BH est égale à $\boxed{\frac{\sqrt{10}}{2}}$. L'affirmation 4 est vraie.