Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Vrai/Faux : droites, plans, angle et distance dans l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

EXERCICE 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; , , k)$ . On considère la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est : $⎩ ⎨ ⎧ x = 3 - 2 t y = - 1 z = 2 - 6 t, o u ˋ t \in R .$ On considère également les points suivants :

$A (3; - 3; - 2)$
$B (5; - 4; - 1)$
C le point de la droite $(d)$ d'abscisse 2
H le projeté orthogonal du point B sur le plan $P$ d'équation $x + 3 z - 7 = 0$

Affirmation 1 La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées sont deux droites non coplanaires.

Affirmation 2 Le plan passant par $A$ et orthogonal à la droite $(d)$ a pour équation cartésienne : $x + 3 z + 3 = 0.$

Affirmation 3 Une mesure, exprimée en radian, de l'angle géométrique $B A C$ est $\frac{π}{6}$ .

Affirmation 4 La distance BH est égale à $\frac{10}{2}$ .

Corrigé

Affirmation 1 : Vraie

$(d)$ est dirigée par $u - 2 0 - 6$ et l'axe des ordonnées par $ 010$ . Ces vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires (ils sont même orthogonaux), donc les droites ne sont ni parallèles ni confondues. L'axe des ordonnées passe par l'origine $(0; 0; 0)$ et est dirigé par $$ , d'où une représentation paramétrique : $⎩ ⎨ ⎧ x = 0 y = s z = 0, s \in R .$ $(d)$ et l'axe des ordonnées sont coplanaires si et seulement s'ils sont sécants, c'est-à-dire si le système suivant admet une solution : $⎩ ⎨ ⎧ 3 - 2 t = 0 - 1 = s 2 - 6 t = 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ t = 1, 5 s = - 1 t = \frac{1}{3}$ Le système n'admet pas de solution : les droites n'ont pas de point commun. N'étant ni parallèles, ni confondues, ni sécantes, elles sont donc non coplanaires. L'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : Vraie

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