Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Vrai/Faux : vecteurs du cube, plans et droites de l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

PARTIE A

$A B C D E F G H$ est un cube d'arête de longueur $1$ .

Les points $I$ , $J$ , $K$ , $L$ et $M$ sont les milieux respectifs des arêtes $[A B]$ , $[B F]$ , $[A E]$ , $[C D]$ et $[D H]$ .

Affirmation 1 : « $J H = 2 B I + D M - C B$ ».

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs $(A B, A H, A G)$ est une base de l'espace. »

Affirmation 3 : « $A B \cdot L M = - \frac{1}{4}$ ».

PARTIE B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

le plan $P$ d'équation cartésienne $2 x - y + 3 z + 6 = 0$
les points $A (2; 0; - 1)$ et $B (5; - 3; 7)$

Affirmation 4 : « Le plan $P$ et la droite $(A B)$ sont parallèles. »

Affirmation 5 : « Le plan $P^{'}$ parallèle à $P$ passant par $B$ a pour équation cartésienne $- 2 x + y - 3 z + 34 = 0$ ».

Affirmation 6 : « La distance du point $A$ au plan $P$ est égale à $\frac{14}{2}$ . »

On désigne par $(d)$ la droite de représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = - 12 + 2 k y = 6 z = 3 - 5 k, o u ˋ k \in R .$

Affirmation 7 : « Les droites $(A B)$ et $(d)$ sont non coplanaires. »

Corrigé

PARTIE A

Affirmation 1 : Vraie $J H = J F + F E + E H = \frac{1}{2} B F + B A + B C = \frac{1}{2} D H + 2 B I - C B = D M + 2 B I - C B .$

Affirmation 2 : Fausse $A G = A B + B G = A B + A H .$ On peut exprimer $A G$ comme combinaison linéaire de $A B$ et $A H$ : les trois vecteurs sont coplanaires et donc le triplet de vecteurs $(A B, A H, A G)$ n'est pas une base de l'espace.

Affirmation 3 : Vraie $A B \cdot L M = A B \cdot I K car L M = I K$ $= I B \cdot I K car I est le projet e ˊ orthogonal de K sur la droite (A B)$ $= - I B \times I K car les vecteurs sont colin e ˊ aires de sens contraire$ $= - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} car l’ar e ˆ te est de longueur 1 et I est le milieu de l’ar e ˆ te [A B]$ $= - \frac{1}{4} .$

PARTIE B

Affirmation 4 : Fausse $A B x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A} z_{B} - z_{A} c’est- a ˋ -dire A B 3 - 3 8 .$ Le vecteur $A B$ est un vecteur directeur de la droite $(A B)$ .

Le plan $P$ a pour équation cartésienne $2 x - y + 3 z + 6 = 0$ , le vecteur $n 2 - 1 3$ est un vecteur normal au plan $P$ .

On se place dans un repère orthonormé : $A B \cdot n = 3 \times 2 + (- 3) \times (- 1) + 8 \times 3 = 6 + 3 + 24 \neq = 0.$ Le vecteur normal au plan $P$ et le vecteur directeur de la droite ne sont pas orthogonaux donc le plan $P$ et la droite $(A B)$ ne sont pas parallèles.

Affirmation 5 : Vraie

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