Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 3 : Vrai/Faux : vecteurs du cube, plans et droites de l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

PARTIE A

$A B C D E F G H$ est un cube d'arête de longueur $1$ .

Les points $I$ , $J$ , $K$ , $L$ et $M$ sont les milieux respectifs des arêtes $[A B]$ , $[B F]$ , $[A E]$ , $[C D]$ et $[D H]$ .

Affirmation 1 : « $J H = 2 B I + D M - C B$ ».

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs $(A B, A H, A G)$ est une base de l'espace. »

Affirmation 3 : « $A B \cdot L M = - \frac{1}{4}$ ».

PARTIE B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

le plan $P$ d'équation cartésienne $2 x - y + 3 z + 6 = 0$
les points $A (2; 0; - 1)$ et $B (5; - 3; 7)$

Affirmation 4 : « Le plan $P$ et la droite $(A B)$ sont parallèles. »

Affirmation 5 : « Le plan $P^{'}$ parallèle à $P$ passant par $B$ a pour équation cartésienne $- 2 x + y - 3 z + 34 = 0$ ».

Affirmation 6 : « La distance du point $A$ au plan $P$ est égale à $\frac{14}{2}$ . »

On désigne par $(d)$ la droite de représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = - 12 + 2 k y = 6 z = 3 - 5 k, o u ˋ k \in R .$

Affirmation 7 : « Les droites $(A B)$ et $(d)$ sont non coplanaires. »

Corrigé

PARTIE A

Affirmation 1 : Vraie $J H = J F + F E + E H = \frac{1}{2} B F + B A + B C = \frac{1}{2} D H + 2 B I - C B = D M + 2 B I - C B .$

Affirmation 2 : Fausse $A G = A B + B G = A B + A H .$ On peut exprimer $A G$ comme combinaison linéaire de $A B$ et $A H$ : les trois vecteurs sont coplanaires et donc le triplet de vecteurs $(A B, A H, A G)$ n'est pas une base de l'espace.

Affirmation 3 : Vraie $A B \cdot L M = A B \cdot I K car L M = I K$ $= I B \cdot I K car I est le projet e ˊ orthogonal de K sur la droite (A B)$ $= - I B \times I K car les vecteurs sont colin e ˊ aires de sens contraire$ $= - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} car l’ar e ˆ te est de longueur 1 et I est le milieu de l’ar e ˆ te [A B]$ $= - \frac{1}{4} .$

PARTIE B

Affirmation 4 : Fausse $A B x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A} z_{B} - z_{A} c’est- a ˋ -dire A B 3 - 3 8 .$ Le vecteur $A B$ est un vecteur directeur de la droite $(A B)$ .

Le plan $P$ a pour équation cartésienne $2 x - y + 3 z + 6 = 0$ , le vecteur $n 2 - 1 3$ est un vecteur normal au plan $P$ .

On se place dans un repère orthonormé : $A B \cdot n = 3 \times 2 + (- 3) \times (- 1) + 8 \times 3 = 6 + 3 + 24 \neq = 0.$ Le vecteur normal au plan $P$ et le vecteur directeur de la droite ne sont pas orthogonaux donc le plan $P$ et la droite $(A B)$ ne sont pas parallèles.

Affirmation 5 : Vraie

Méthode 1 : Les plans $P$ et $P^{'}$ sont parallèles donc le vecteur $n 2 - 1 3$ est aussi un vecteur normal au plan $P^{'}$ .

Une équation cartésienne du plan $P^{'}$ est donc de la forme $2 x - y + 3 z + d = 0$ avec $d \in R$ .

De plus, le point $B$ appartient au plan $P^{'}$ donc $2 x_{B} - y_{B} + 3 z_{B} + d = 0$ .

D'où $2 \times 5 - (- 3) + 3 \times 7 + d = 0$ c'est-à-dire $10 + 3 + 21 + d = 0$ ce qui équivaut à $d = - 34$ .

Une équation cartésienne du plan $P^{'}$ est donc $2 x - y + 3 z - 34 = 0$ .

En multipliant par $- 1$ on obtient l'équation donnée.

Méthode 2 : Le plan $P^{'}$ a pour équation cartésienne $- 2 x + y - 3 z + 34 = 0$ , soit donc de la forme $2 x - y + 3 z - 34 = 0$ ; le vecteur $n^{'} - 2 1 - 3$ est donc un vecteur normal au plan $P^{'}$ .

$n^{'} = - n$ donc les vecteurs normaux aux plans $P$ et $P^{'}$ sont colinéaires et donc les plans sont parallèles.

Vérifions si le point $B$ appartient au plan $P^{'}$ : $- 2 x_{B} + y_{B} - 3 z_{B} + 34 = - 2 \times 5 - 3 - 3 \times 7 + 34 = - 10 - 3 - 21 + 34 = 0.$ Donc le point $B$ appartient au plan $P^{'}$ .

Donc le plan $P^{'}$ parallèle à $P$ passant par $B$ a bien pour équation cartésienne $- 2 x + y - 3 z + 34 = 0$ .

Affirmation 6 : Vraie

La distance du point $A$ au plan $P$ est égale à la distance $A H$ avec $H$ projeté orthogonal de $A$ sur le plan $P$ .

Déterminons les coordonnées du point $H$ . $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $P$ , c'est donc l'intersection du plan $P$ et de la droite $Δ$ orthogonale au plan $P$ passant par le point $A$ .

Le vecteur $n 2 - 1 3$ est un vecteur normal au plan $P$ , c'est donc un vecteur directeur de la droite $Δ$ .

De plus le point $A (2; 0; - 1)$ appartient à la droite $Δ$ , une représentation paramétrique de la droite $Δ$ est donc : $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = 0 - t z = - 1 + 3 t, o u ˋ t \in R .$ L'intersection entre la droite $Δ$ et le plan $P$ introduit la variable $t$ : $2 (2 + 2 t) - (- t) + 3 (- 1 + 3 t) + 6 = 0 ⟺ 4 + 4 t + t - 3 + 9 t + 6 = 0 ⟺ 14 t = - 7 ⟺ t = - \frac{1}{2} .$ Le point $H$ d'intersection entre la droite $Δ$ et $P$ est le point de paramètre $t = - \frac{1}{2}$ dans la représentation paramétrique de la droite $Δ$ .

Il a comme coordonnées : $H (2 - 2 \times \frac{1}{2}; \frac{1}{2}; - 1 - 3 \times \frac{1}{2})$ soit $H (1; \frac{1}{2}; - \frac{5}{2})$ .

On a alors : $A H - 1 \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$ d'où : $A H = 1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + (- \frac{3}{2})^{2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{14}{4}$ , donc $A H = \frac{14}{4} = \frac{14}{2}$ .

La distance du point $A$ au plan $P$ est égale à $\frac{14}{2}$ .

Affirmation 7 : Fausse

$(d)$ est dirigée par le vecteur $u 20 - 5$ et la droite $(A B)$ par $A B 3 - 3 8$ .

Les deux droites ont des vecteurs directeurs non colinéaires donc les droites ne sont ni parallèles, ni confondues.

La droite $(A B)$ passe par le point $A$ et est dirigée par $A B$ donc une représentation paramétrique de la droite $(A B)$ est : $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 3 t y = 0 - 3 t z = - 1 + 8 t, o u ˋ t \in R .$ $(d)$ et $(A B)$ seront donc coplanaires si et seulement si ces deux droites sont sécantes, c'est-à-dire si et seulement si le système suivant a une solution : $⎩ ⎨ ⎧ 2 + 3 t = - 12 + 2 k - 3 t = 6 - 1 + 8 t = 3 - 5 k ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ - 4 = - 12 + 2 k t = - 2 - 17 = 3 - 5 k ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ k = 4 t = - 2 k = 4$ Le système admet une solution, donc les droites ont un point commun : le point de paramètre $t = - 2$ de la droite $(A B)$ ou le point de paramètre $k = 4$ de $(d)$ , c'est-à-dire le point $C (- 4; 6; - 17)$ .

Les droites $(A B)$ et $(d)$ sont donc sécantes et par conséquent coplanaires.

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