Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Dénombrement, équation différentielle et étude de fonction

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Partie A : dénombrement

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre $- 30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : ${- 30; - 29; - 28; \dots; - 1; 1; \dots; 28; 29; 30}$ . Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$ .

1. Combien de couples $(a; c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?

2. On considère l'évènement $M$ : « l'équation $a x^{2} + 2 x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes », où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis. Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $a c < 1$ .

3. Expliquer pourquoi l'évènement contraire $M$ comporte 1 740 issues.

4. Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $1 0^{- 2}$ .

Partie B : équation différentielle

On considère l'équation différentielle $(E) : y^{'} + 10 y = (30 x^{2} + 22 x - 8) e^{- 5 x + 1} avec x \in R$ où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $R$ .

1. Résoudre sur $R$ l'équation différentielle $y^{'} + 10 y = 0$ .

2. Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1} .$ On admet que $f$ est dérivable sur $R$ et on note $f^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$ .

3. Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$ .

Partie C : étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la partie B question 2. On rappelle que, pour tout réel $x$ , $f (x) = (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1}$ . On note $f^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . On appelle $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

1. On admet que $x \to + \infty lim f (x) = 0$ . Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ .

2. En utilisant la partie A, montrer que $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).

3. En utilisant les parties A et B, montrer que $C_{f}$ possède deux tangentes horizontales.

4. Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ .

5. Déterminer, en justifiant, le nombre de solution(s) de l'équation $f (x) = 1$ .

6. Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0, 2$ , on définit $I_{m}$ par $I_{m} = \int_{0, 2}^{m} f (x) d x$ .

a. Vérifier que la fonction $F$ définie sur $R$ par $F (x) = (- \frac{6}{5} x^{2} - \frac{22}{25} x + \frac{28}{125}) e^{- 5 x + 1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $R$ .

b. Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_{m} = 0$ ? Interpréter graphiquement ce résultat.

Corrigé

Partie A : dénombrement

1. On peut choisir le premier terme du couple parmi 60 entiers ; comme il n'y a pas de remise et que $(a; c) \neq = (c; a)$ , le deuxième terme peut être choisi parmi 59 entiers. On peut donc obtenir $60 \times 59 = 3540$ couples différents.

2. L'équation $a x^{2} + 2 x + c = 0$ possède deux racines réelles distinctes si son discriminant est strictement positif, donc si : $Δ = 4 - 4 a c > 0 ⟺ 4 (1 - a c) > 0 ⟺ 1 - a c > 0 ⟺ a c < 1 .$

3. Il faut donc dénombrer les couples vérifiant $a c ⩾ 1$ , mais en fait $a c > 1$ puisque l'on ne peut avoir ni $(- 1; - 1)$ ni $(1; 1)$ .

Si l'on choisit pour premier terme un entier négatif (30 choix), le second terme sera choisi parmi les 29 entiers négatifs restants, soit $30 \times 29 = 870$ couples.

Même chose si les deux termes choisis sont positifs, soit 870 couples.

L'évènement $M$ sera donc réalisé pour $870 + 870 = 1740$ couples.

4. D'après le résultat précédent, l'évènement $M$ sera réalisé pour $3540 - 1740 = 1800$ couples.

Donc $p (M) = \frac{1 800}{3 540} = \frac{30}{59} \approx 0, 5084$ , soit $p (M) \approx 0, 51$ (au centième près).

Partie B : équation différentielle

1. L'équation différentielle est équivalente à l'équation $y^{'} = - 10 y$ . On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions définies par $x ⟼ C e^{- 10 x}$ , avec $C \in R$ .

2. $f (x) = (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1}$ . Étant admis que $f$ est dérivable sur $R$ , on calcule : $f^{'} (x) = (12 x + 2) e^{- 5 x + 1} + (- 5) (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1} = e^{- 5 x + 1} [12 x + 2 - 30 x^{2} - 10 x + 10] = e^{- 5 x + 1} (- 30 x^{2} + 2 x + 12) .$ Alors : $f^{'} (x) + 10 f (x) = e^{- 5 x + 1} (- 30 x^{2} + 2 x + 12) + 10 (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1} = e^{- 5 x + 1} (30 x^{2} + 22 x - 8) .$ On a donc démontré que $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$ .

3. Les résultats des questions précédentes permettent d'énoncer que toutes les solutions de $(E)$ sont la somme de $f$ et des solutions de l'équation $y^{'} + 10 y = 0$ . Toutes les solutions de $(E)$ sont donc de la forme : $x ⟼ (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1} + C e^{- 10 x}, C \in R .$

Partie C : étude de fonction

1. On admet que $x \to + \infty lim f (x) = 0$ .

On a $6 x^{2} + 2 x - 2 = x^{2} (6 + \frac{2}{x} - \frac{2}{x ^{2}})$ . Comme $x \to - \infty lim \frac{2}{x} = x \to - \infty lim \frac{2}{x ^{2}} = 0$ , on a $x \to - \infty lim (6 + \frac{2}{x} - \frac{2}{x ^{2}}) = 6$ et $x \to - \infty lim x^{2} = + \infty$ .

Enfin $x \to - \infty lim e^{- 5 x + 1} = + \infty$ , donc finalement $x \to - \infty lim f (x) = + \infty$ .

2. Quel que soit le réel $x$ , $e^{- 5 x + 1} > 0$ : le signe de $f (x)$ est donc celui du trinôme $6 x^{2} + 2 x - 2$ .

Ce trinôme vérifie l'évènement $M$ puisque $a = 6$ et $c = - 2$ , donc $a c = - 12 < 1$ : le trinôme s'annule pour deux réels distincts. Géométriquement, $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en deux points.

Non demandé : $Δ = 4 + 48 = 52 = 4 \times 13$ . Les racines sont $x_{1} = \frac{2 + 52}{12} = \frac{1 + 13}{6} \approx 0, 77$ et $x_{2} = \frac{2 - 52}{12} = \frac{1 - 13}{6} \approx - 0, 43$ .

3. On a vu que $f^{'} (x) = e^{- 5 x + 1} (- 30 x^{2} + 2 x + 12)$ ; comme $e^{- 5 x + 1} \neq = 0$ quel que soit le réel $x$ , on a : $f^{'} (x) = 0 ⟺ - 30 x^{2} + 2 x + 12 = 0 ⟺ - 15 x^{2} + x + 6 = 0.$ Pour ce trinôme, $Δ = 1^{2} - 4 \times (- 15) \times 6 = 1 + 360 = 361 = 1 9^{2} > 0$ : il s'annule pour $x_{1} = \frac{- 1 + 19}{- 30} = \frac{18}{- 30} = - \frac{3}{5}$ et $x_{2} = \frac{- 1 - 19}{- 30} = \frac{- 20}{- 30} = \frac{2}{3}$ .

Aux points d'abscisses $- \frac{3}{5}$ et $\frac{2}{3}$ , le nombre dérivé est nul, ce qui signifie que la tangente en ces deux points est horizontale.

4. On a $f (- \frac{3}{5}) \approx - 56, 8$ et $f (\frac{2}{3}) \approx 0, 19$ .

(figure : tableau de variations de $f$ sur $R$ . Sur $] - \infty; - \frac{3}{5}]$ , $f^{'} (x) < 0$ et $f$ décroît de $+ \infty$ à $- 56, 8$ ; sur $[- \frac{3}{5}; \frac{2}{3}]$ , $f^{'} (x) > 0$ et $f$ croît de $- 56, 8$ à $0, 19$ ; sur $[\frac{2}{3}; + \infty [$ , $f^{'} (x) < 0$ et $f$ décroît de $0, 19$ à $0$ . $f^{'} (x)$ s'annule en $- \frac{3}{5}$ et en $\frac{2}{3}$ .)

5. Sur l'intervalle $] - \infty; - \frac{3}{5}]$ , la fonction $f$ décroît de $+ \infty$ à environ $- 56, 8$ ; d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $α$ dans cet intervalle tel que $f (α) = 1$ .

Sur l'intervalle $[- \frac{3}{5}; + \infty [$ , $f (x) < 0, 19 < 1$ : il n'existe pas de solution de l'équation $f (x) = 1$ sur cet intervalle.

Conclusion : sur $R$ , l'équation $f (x) = 1$ admet $une seule solution$ .

6.a. $F$ est dérivable sur $R$ et : $F^{'} (x) = (- \frac{12}{5} x - \frac{22}{25}) e^{- 5 x + 1} - 5 (- \frac{6}{5} x^{2} - \frac{22}{25} x + \frac{28}{125}) e^{- 5 x + 1}$ $= e^{- 5 x + 1} (- \frac{12}{5} x - \frac{22}{25} + 6 x^{2} + \frac{22}{5} x - \frac{28}{25}) = e^{- 5 x + 1} (6 x^{2} + \frac{10}{5} x - \frac{50}{25}) = (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1} = f (x) .$ Sur $R$ , $F^{'} (x) = f (x)$ montre que $F$ est bien une primitive de la fonction $f$ .

b. On a $I_{m} = \int_{0, 2}^{m} f (x) d x = [F (x)]_{0, 2}^{m} = F (m) - F (0, 2)$ .

Or $F (0, 2) = F (\frac{1}{5}) = (- \frac{6}{5} \times \frac{1}{25} - \frac{22}{25} \times \frac{1}{5} + \frac{28}{125}) e^{- 5 \times \frac{1}{5} + 1} = (- \frac{6}{125} - \frac{22}{125} + \frac{28}{125}) e^{0} = 0 \times 1 = 0$ .

Il faut donc résoudre $I_{m} = F (m) = 0$ , soit $(- \frac{6}{5} m^{2} - \frac{22}{25} m + \frac{28}{125}) e^{- 5 m + 1} = 0 ⟺ - \frac{6}{5} m^{2} - \frac{22}{25} m + \frac{28}{125} = 0$ , car $e^{- 5 m + 1} \neq = 0$ quel que soit $m \in R$ .

En multipliant par 125, on obtient $- 150 m^{2} - 110 m + 28 = 0$ , ou encore, en simplifiant par 2 : $- 75 m^{2} - 55 m + 14 = 0$ .

Pour ce trinôme, $Δ = (- 55)^{2} - 4 \times (- 75) \times 14 = 7225 = 8 5^{2} > 0$ . Il a deux racines : $m_{1} = \frac{55 + 85}{- 150} = \frac{140}{- 150} = - \frac{14}{15} et m_{2} = \frac{55 - 85}{- 150} = \frac{- 30}{- 150} = \frac{1}{5} = 0, 2.$ La deuxième racine a déjà été trouvée ci-dessus ( $F (0, 2) = 0$ ). Il existe donc une autre valeur, $- \frac{14}{15}$ , pour laquelle $F (- \frac{14}{15}) = 0$ ; mais comme on demande une valeur $m > 0, 2$ et que cette solution est négative, $il n’existe pas de valeur m > 0, 2 telle que I_{m} = 0$ .

Interprétation graphique. On a tracé les représentations graphiques des fonctions $F$ et $f$ . La surface bordée par $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation $x = 0, 2$ et $x = m$ est égale à l'intégrale $I_{m}$ . Cette surface se compose de deux parties :

une première partie correspondant à l'intégrale de $0, 2$ à environ $0, 43$ (valeur qui annule $f$ ) ; la courbe étant sous l'axe des abscisses, l'aire est l'opposée de l'intégrale ;
une deuxième partie correspondant à l'intégrale de $0, 43$ à $m$ ; la courbe étant au-dessus de l'axe des abscisses, l'aire est égale à l'intégrale.

Le fait qu'il n'existe pas de valeur de $m$ telle que $I_{m}$ s'annule signifie géométriquement que, quel que soit $m > 0, 2$ , l'aire de la surface située au-dessus de l'axe des abscisses n'est jamais égale à l'aire de la surface située sous l'axe des abscisses. On voit aussi que, pour $m > 0, 2$ , aucun point de la représentation de $F$ n'a une ordonnée nulle.

(figure : courbes $C_{F}$ et $C_{f}$ tracées dans un même repère.)

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