Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Dénombrement, équation différentielle et étude de fonction

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

Partie A : dénombrement

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre $- 30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : ${- 30; - 29; - 28; \dots; - 1; 1; \dots; 28; 29; 30}$ . Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$ .

1. Combien de couples $(a; c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?

2. On considère l'évènement $M$ : « l'équation $a x^{2} + 2 x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes », où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis. Montrer que l'évènement $M$ a lieu si et seulement si $a c < 1$ .

3. Expliquer pourquoi l'évènement contraire $M$ comporte 1 740 issues.

4. Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $1 0^{- 2}$ .

Partie B : équation différentielle

On considère l'équation différentielle $(E) : y^{'} + 10 y = (30 x^{2} + 22 x - 8) e^{- 5 x + 1} avec x \in R$ où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $R$ .

1. Résoudre sur $R$ l'équation différentielle $y^{'} + 10 y = 0$ .

2. Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1} .$ On admet que $f$ est dérivable sur $R$ et on note $f^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$ .

3. Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$ .

Partie C : étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la partie B question 2. On rappelle que, pour tout réel $x$ , $f (x) = (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1}$ . On note $f^{'}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . On appelle $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan.

1. On admet que $x \to + \infty lim f (x) = 0$ . Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ .

2. En utilisant la partie A, montrer que $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).

3. En utilisant les parties A et B, montrer que $C_{f}$ possède deux tangentes horizontales.

4. Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ .

5. Déterminer, en justifiant, le nombre de solution(s) de l'équation $f (x) = 1$ .

6. Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0, 2$ , on définit $I_{m}$ par $I_{m} = \int_{0, 2}^{m} f (x) d x$ .

a. Vérifier que la fonction $F$ définie sur $R$ par $F (x) = (- \frac{6}{5} x^{2} - \frac{22}{25} x + \frac{28}{125}) e^{- 5 x + 1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $R$ .

b. Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_{m} = 0$ ? Interpréter graphiquement ce résultat.

Corrigé

Partie A : dénombrement

1. On peut choisir le premier terme du couple parmi 60 entiers ; comme il n'y a pas de remise et que $(a; c) \neq = (c; a)$ , le deuxième terme peut être choisi parmi 59 entiers. On peut donc obtenir $60 \times 59 = 3540$ couples différents.

2. L'équation $a x^{2} + 2 x + c = 0$ possède deux racines réelles distinctes si son discriminant est strictement positif, donc si : $Δ = 4 - 4 a c > 0 ⟺ 4 (1 - a c) > 0 ⟺ 1 - a c > 0 ⟺ a c < 1 .$

3. Il faut donc dénombrer les couples vérifiant $a c ⩾ 1$ , mais en fait $a c > 1$ puisque l'on ne peut avoir ni $(- 1; - 1)$ ni $(1; 1)$ .

Si l'on choisit pour premier terme un entier négatif (30 choix), le second terme sera choisi parmi les 29 entiers négatifs restants, soit $30 \times 29 = 870$ couples.

Même chose si les deux termes choisis sont positifs, soit 870 couples.

L'évènement $M$ sera donc réalisé pour $870 + 870 = 1740$ couples.

4. D'après le résultat précédent, l'évènement $M$ sera réalisé pour $3540 - 1740 = 1800$ couples.

Donc $p (M) = \frac{1 800}{3 540} = \frac{30}{59} \approx 0, 5084$ , soit $p (M) \approx 0, 51$ (au centième près).

Partie B : équation différentielle

1. L'équation différentielle est équivalente à l'équation $y^{'} = - 10 y$ . On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions définies par $x ⟼ C e^{- 10 x}$ , avec $C \in R$ .

2. $f (x) = (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1}$ . Étant admis que $f$ est dérivable sur $R$ , on calcule : $f^{'} (x) = (12 x + 2) e^{- 5 x + 1} + (- 5) (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1} = e^{- 5 x + 1} [12 x + 2 - 30 x^{2} - 10 x + 10] = e^{- 5 x + 1} (- 30 x^{2} + 2 x + 12) .$ Alors : $f^{'} (x) + 10 f (x) = e^{- 5 x + 1} (- 30 x^{2} + 2 x + 12) + 10 (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1} = e^{- 5 x + 1} (30 x^{2} + 22 x - 8) .$ On a donc démontré que $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$ .

3. Les résultats des questions précédentes permettent d'énoncer que toutes les solutions de $(E)$ sont la somme de $f$ et des solutions de l'équation $y^{'} + 10 y = 0$ . Toutes les solutions de $(E)$ sont donc de la forme : $x ⟼ (6 x^{2} + 2 x - 2) e^{- 5 x + 1} + C e^{- 10 x}, C \in R .$

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