Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Équation différentielle, étude de fonction et aire

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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EXERCICE 4 (5 points)

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ , représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $R$ . L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g^{'}$ . On précise également que :

La courbe $C_{1}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 1)$ .
La courbe $C_{2}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(- 2; 0)$ et $(1; 0)$ .

(figure : courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ dans un repère orthogonal)

1. En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g^{'}$ sa représentation graphique.

2. Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est $y = 2 x + 1$ .

Partie B

On considère $(E)$ l'équation différentielle $y + y^{'} = (2 x + 3) e^{- x},$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ .

1. Montrer que la fonction $f_{0}$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_{0} (x) = (x^{2} + 3 x) e^{- x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ .

2. Résoudre l'équation différentielle $(E_{0}) : y + y^{'} = 0$ .

3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ .

4. On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$ . Déterminer alors l'expression de la fonction $g$ .

5. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Partie C

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par : $f (x) = (x^{2} + 3 x + 2) e^{- x} .$

1. Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à 0. On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ est égale à $+ \infty$ .

2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $R$ . On note $f^{'}$ la fonction dérivée de $f$ sur $R$ .

a. Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ , $f^{'} (x) = (- x^{2} - x + 1) e^{- x}$ .

b. Déterminer le signe de la fonction dérivée $f^{'}$ sur $R$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $R$ .

3. Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

4. On notera $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O; , )$ . On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F (x) = (- x^{2} - 5 x - 7) e^{- x}$ est une primitive de la fonction $f$ . Soit $α$ un nombre réel positif. Déterminer l'aire $A (α)$ , exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $C_{f}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = α$ .

Corrigé

Partie A

1. La fonction représentée par $C_{1}$ est décroissante sur $] - \infty; - 2]$ et sur $[1; + \infty [$ , et croissante sur $[- 2; 1]$ . La fonction représentée par $C_{2}$ est négative sur $] - \infty; - 2]$ et sur $[1; + \infty [$ , et positive sur $[- 2; 1]$ . Les variations d'une fonction étant déterminées par le signe de sa dérivée, on en déduit que $C_{1}$ est la courbe de $g$ et $C_{2}$ celle de $g^{'}$ .

2. L'équation réduite de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse 0 est $y = g^{'} (0) (x - 0) + g (0) = g^{'} (0) x + g (0)$ . La courbe $C_{1}$ coupe l'axe des ordonnées en $(0; 1)$ donc $g (0) = 1$ ; la courbe $C_{2}$ coupe l'axe des ordonnées en $(0; 2)$ donc $g^{'} (0) = 2$ . L'équation réduite de la tangente est donc $y = 2 x + 1$ .

Partie B

1. $f_{0}$ est dérivable sur $R$ comme produit de fonctions dérivables. Pour tout réel $x$ : $f_{0}^{'} (x) = (2 x + 3) e^{- x} + (x^{2} + 3 x) \times (- e^{- x}) = (2 x + 3 - x^{2} - 3 x) e^{- x} = (- x^{2} - x + 3) e^{- x} .$ Pour tout réel $x$ : $f_{0} (x) + f_{0}^{'} (x) = (x^{2} + 3 x) e^{- x} + (- x^{2} - x + 3) e^{- x} = (x^{2} + 3 x - x^{2} - x + 3) e^{- x} = (2 x + 3) e^{- x} .$ La fonction $f_{0}$ est donc une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ .

2. $(E_{0}) : y + y^{'} = 0 ⟺ y^{'} = - y$ . Les solutions sont les fonctions de la forme $x ⟼ C e^{- x}, C \in R$ .

3. $(E)$ est de la forme $y^{'} = a y + b$ ; ses solutions sont les sommes de la solution particulière $f_{0}$ et des solutions de $(E_{0})$ , soit les fonctions de la forme : $x ⟼ C e^{- x} + f_{0} (x) = (x^{2} + 3 x + C) e^{- x}, C \in R .$

4. La fonction $g$ est une solution de $(E)$ : il existe un réel $C$ tel que, pour tout réel $x$ , $g (x) = (x^{2} + 3 x + C) e^{- x}$ . Or $g (0) = 1$ donc $1 = (0 + C) e^{0} = C$ , d'où $C = 1$ . L'expression de $g$ est donc : $g : x ⟼ (x^{2} + 3 x + 1) e^{- x} .$

5. La courbe admet exactement deux points d'inflexion si et seulement si la dérivée seconde s'annule exactement deux fois en changeant de signe. Soit $f$ une solution de $(E)$ : il existe un réel $C$ tel que $f (x) = (x^{2} + 3 x + C) e^{- x}$ . $f^{'} (x) f^{''} (x) = (2 x + 3) e^{- x} + (x^{2} + 3 x + C) \times (- e^{- x}) = (- x^{2} - x + 3 - C) e^{- x}, = (- 2 x - 1) e^{- x} + (- x^{2} - x + 3 - C) \times (- e^{- x}) = (x^{2} - x - 4 + C) e^{- x} .$ Une fonction exponentielle étant strictement positive, $f^{''} (x)$ est du signe de $x^{2} - x - 4 + C$ . Ce trinôme s'annule deux fois en changeant de signe si et seulement si son discriminant est strictement positif : $Δ = (- 1)^{2} - 4 \times 1 \times (- 4 + C) = 1 + 16 - 4 C = 17 - 4 C .$ La courbe admet exactement deux points d'inflexion si $17 - 4 C > 0$ , c'est-à-dire $C < \frac{17}{4}$ . Les solutions cherchées sont donc les fonctions $x ⟼ (x^{2} + 3 x + C) e^{- x}$ avec $C < \frac{17}{4}$ .

Partie C

1. $f (x) = (x^{2} + 3 x + 2) e^{- x} = \frac{x ^{2}}{e ^{x}} + 3 \frac{x}{e ^{x}} + \frac{2}{e ^{x}}$ . Comme $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ , par inverse $x \to + \infty lim \frac{1}{e ^{x}} = 0$ . Par croissances comparées, pour tout entier $n$ non nul, $x \to + \infty lim \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = 0$ . Donc, par produit et par somme, $x \to + \infty lim f (x) = 0$ .

2. a. Pour tout réel $x$ : $f^{'} (x) = (2 x + 3) e^{- x} + (x^{2} + 3 x + 2) \times (- e^{- x}) = (2 x + 3 - x^{2} - 3 x - 2) e^{- x} = (- x^{2} - x + 1) e^{- x} .$

b. Une fonction exponentielle étant positive, $f^{'} (x)$ est du signe du trinôme du second degré $- x^{2} - x + 1$ . Son discriminant est $Δ = (- 1)^{2} - 4 \times (- 1) \times 1 = 1 + 4 = 5 > 0$ , d'où les deux racines : $x_{1} = \frac{1 + 5}{- 2} = \frac{- 1 - 5}{2} et x_{2} = \frac{1 - 5}{- 2} = \frac{- 1 + 5}{2} .$ Le coefficient dominant étant négatif, $f^{'} (x)$ est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

(tableau de signes et de variations : $f^{'}$ négative sur $] - \infty; \frac{- 1 - 5}{2}]$ , positive sur $[\frac{- 1 - 5}{2}; \frac{- 1 + 5}{2}]$ , négative sur $[\frac{- 1 + 5}{2}; + \infty [$ )

La fonction $f$ est donc décroissante sur $] - \infty; \frac{- 1 - 5}{2}]$ et sur $[\frac{- 1 + 5}{2}; + \infty [$ , et croissante sur $[\frac{- 1 - 5}{2}; \frac{- 1 + 5}{2}]$ .

3. La fonction exponentielle étant strictement positive, $f (x)$ est du signe du trinôme $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 2) (x + 1)$ , dont les racines sont $- 2$ et $- 1$ . Le coefficient dominant étant positif, $x^{2} + 3 x + 2$ est positif, entre autres, sur $] - 1; + \infty [$ , donc sur $[0; + \infty [$ . La fonction $f$ est donc positive sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .

4. La fonction $f$ étant positive sur $[0; + \infty [$ donc sur $[0; α]$ , l'aire $A (α)$ , exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $C_{f}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = α$ est égale à $\int_{0}^{α} f (x) d x$ : $A (α) = \int_{0}^{α} f (x) d x = [F (x)]_{0}^{α} = F (α) - F (0) = (- α^{2} - 5 α - 7) e^{- α} + 7.$ L'aire cherchée est égale à $(- α^{2} - 5 α - 7) e^{- α} + 7$ unités d'aire.

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