Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Équation différentielle, étude de fonction et aire

EXERCICE 4 (5 points)

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g^{\prime }$. On précise également que :

• La courbe ${\mathcal{C}}_1$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;1)$.
• La courbe ${\mathcal{C}}_2$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2;0)$ et $(1;0)$.

(figure : courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$ dans un repère orthogonal)

1. En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g^{\prime }$ sa représentation graphique.

2. Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est $y=2x+1$.

Partie B

On considère $(E)$ l'équation différentielle $$y+y^{\prime }=(2x+3){\mathrm{e}}^{-x},$$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.

1. Montrer que la fonction $f_0$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_0(x)=\left(x^2+3x\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

2. Résoudre l'équation différentielle $(E_0):y+y^{\prime }=0$.

3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

4. On admet que la fonction $g$ décrite dans la partie A est une solution de l'équation différentielle $(E)$. Déterminer alors l'expression de la fonction $g$.

5. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Partie C

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par : $$f(x)=\left(x^2+3x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}.$$

1. Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 0. On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$.

2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.

a. Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f^{\prime }(x)=\left(-x^2-x+1\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

b. Déterminer le signe de la fonction dérivée $f^{\prime }$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0;+\infty [$.

4. On notera ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $\left(O;\overrightarrow{ı},\overrightarrow{ȷ}\right)$. On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x)=\left(-x^2-5x-7\right){\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$. Soit $\alpha$ un nombre réel positif. Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\alpha )$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe ${\mathcal{C}}_f$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\alpha$.