Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Étude de f(x)=e^x sin(x) : convexité et intégration par parties

On considère par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;\pi ]$ par $$f(x)=e^x\sin (x).$$ On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

PARTIE A

1. a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;\pi ]$, $$f^{\prime }(x)=e^x[\sin (x)+\cos (x)].$$

b. Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

2. a. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.

b. Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

c. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, $e^x\sin (x)⩾x$.

3. Justifier que le point d'abscisse $\frac{\pi }{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

PARTIE B

On note $$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^x\sin (x)\mathrm{d}x\text{et}J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^x\cos (x)\mathrm{d}x.$$

1. En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes : $$I=1+J\text{et}I=e^{\frac{\pi }{2}}-J.$$

2. En déduire que $I=\frac{1+e^{\frac{\pi }{2}}}{2}$.

3. On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x$.

Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0;\pi ]$.

(figure : courbes ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ et ${\mathcal{C}}_g$ de $g$ sur $[0;\pi ]$, avec le domaine hachuré situé entre les courbes et les droites $x=0$ et $x=\frac{\pi }{2}$)

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\frac{\pi }{2}$.