Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Étude de f(x)=e^x sin(x) : convexité et intégration par parties

PARTIE A

1. a. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;\pi ]$ : $$f^{\prime }(x)=e^x\times \sin (x)+e^x\times \cos (x)=e^x[\sin (x)+\cos (x)].$$

b. Par connaissance des fonctions trigonométriques, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, $\cos (x)⩾0$ et $\sin (x)⩾0$.

On précise que d'une part, $\sin (x)=0$ seulement pour $x=0$, et $\cos (0)=1$, et d'autre part, $\cos (x)=0$ seulement pour $x=\frac{\pi }{2}$, et $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, donc les fonctions sinus et cosinus ne s'annulent pas en même temps.

La somme de deux réels positifs, dont l'un au moins est strictement positif, est strictement positive, donc pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, $\cos (x)+\sin (x)>0$.

D'autre part, pour tout réel $x$, $e^x>0$, donc pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, $f^{\prime }(x)>0$ en tant que produit de deux facteurs strictement positifs.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

2. a. L'équation réduite de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$ est : $$y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)=f^{\prime }(0)x+f(0).$$ $f(0)=e^0\sin (0)=1\times 0=0$ (donné dans l'énoncé)

$f^{\prime }(0)=e^0(\sin (0)+\cos (0))=1\times (0+1)=1$ (donné dans l'énoncé)

L'équation de la tangente $T$ à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$ est donc $y=1x+0$ soit $\boxed{y=x.}$

b. Étudions la convexité de la fonction sur $[0;\pi ]$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;\pi ]$ : $$f^{\prime \prime }(x)=e^x(\sin (x)+\cos (x))+e^x(\cos (x)-\sin (x))=e^x(\sin (x)+\cos (x)+\cos (x)-\sin (x))=2e^x\cos (x).$$ On a le tableau de signes suivant :

(tableau de signes de $f^{\prime \prime }(x)$ sur $[0;\pi ]$ : $f^{\prime \prime }(x)>0$ sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right[$, $f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$, $f^{\prime \prime }(x)<0$ sur $\left]\frac{\pi }{2};\pi \right]$)

Donc pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, $f^{\prime \prime }(x)⩾0$, d'où la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

c. La courbe représentative d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes ; en particulier ici, la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est au-dessus de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$, d'équation $y=x$ (d'après la question précédente).

On a donc, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, $e^x\sin (x)⩾x$.

3. On a vu précédemment que la dérivée seconde de $f$ s'annule en changeant de signe en $x=\frac{\pi }{2}$ donc le point d'abscisse $\frac{\pi }{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

PARTIE B

1. $x⟼e^x\sin (x)$ est de la forme $u{v}^{\prime }$ avec $\{\begin{array}{ll}u(x)=e^x& u^{\prime }(x)=e^x\\ v^{\prime }(x)=\sin (x)& v(x)=-\cos (x)\end{array}$

Les fonctions $u$ et $v$ sont continues et dérivables sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ et les fonctions $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ sont continues sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, donc, d'après la formule d'intégration par parties : $${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x.$$ d'où $$I=[-e^x\cos (x){]}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^x(-\cos (x))\mathrm{d}x=-\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)e^{\frac{\pi }{2}}+\cos (0)e^0+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^x\cos (x)\mathrm{d}x=0+1+J=1+J.$$

$x⟼e^x\sin (x)$ est de la forme $u^{\prime }v$ avec $\{\begin{array}{ll}u(x)=\sin (x)& u^{\prime }(x)=\cos (x)\\ v^{\prime }(x)=e^x& v(x)=e^x\end{array}$

Les fonctions $u$ et $v$ sont continues et dérivables sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ et les fonctions $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ sont continues sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, donc, d'après la formule d'intégration par parties : $${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x.$$ d'où $$I=[\sin (x)e^x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^x\cos (x)\mathrm{d}x=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)e^{\frac{\pi }{2}}-\sin (0)e^0-J=e^{\frac{\pi }{2}}-J.$$ On a donc bien : $I=1+J$ et $I=e^{\frac{\pi }{2}}-J$.

2. En ajoutant les deux équations précédentes on obtient : $2I=1+J+e^{\frac{\pi }{2}}-J$, d'où $\boxed{I=\frac{1+e^{\frac{\pi }{2}}}{2}.}$

3. D'après la question Partie A 2.c., pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$, on a $f(x)⩾g(x)$, c'est donc que la courbe ${\mathcal{C}}_f$ est au-dessus de la droite ${\mathcal{C}}_g$.

L'aire du domaine hachuré situé entre les courbes ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=\frac{\pi }{2}$ est donc l'intégrale ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(e^x\sin (x)-x)\mathrm{d}x$. $$\mathcal{A}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(e^x\sin (x)-x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^x\sin (x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\mathrm{d}x\text{par lineˊariteˊ de l’inteˊgrale}$$ $$=I-{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1+e^{\frac{\pi }{2}}}{2}-\frac{1}{2}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2+0=\frac{1+e^{\frac{\pi }{2}}}{2}-\frac{{\pi }^2}{8}.$$ L'aire cherchée est donc $\boxed{\frac{1+e^{\frac{\pi }{2}}}{2}-\frac{{\pi }^2}{8}\text{u.a.}}$ $(\approx 1,67\text{u. a.})$