Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Étude de f(x) = ln(x)/x² + 1 et distance minimale à l'origine

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = \frac{ln ( x )}{x ^{2}} + 1.$

On note $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ et on note $f^{'}$ sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$ .

En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $C_{f}$ .

2. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0; + \infty [$ , on a :

$f^{'} (x) = \frac{1 - 2 ln ( x )}{x ^{3}} .$

3. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

4. a. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ possède une unique solution, notée $a$ , sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

b. Donner un encadrement du réel $a$ d'amplitude $0, 01$ .

c. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

5. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par :

$g (x) = ln (x)$

On note $C_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé d'origine O. On considère un réel $x$ strictement positif et le point M de la courbe $C_{g}$ d'abscisse $x$ . On note OM la distance entre les points O et M.

a. Exprimer la quantité $OM^{2}$ en fonction du réel $x$ .

b. On note OM la distance entre les points O et M. On admet que la quantité $OM^{2}$ admet un minimum en $a$ .

c. La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $] 0; + \infty [$ , est appelée distance du point O à la courbe $C_{g}$ . On note $d$ cette distance.

Exprimer $d$ à l'aide de $a$ .

Corrigé

1. On calcule les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$ .

Limite en $0$ : $x \to 0 x > 0 lim ln (x) = - \infty$ et $x \to 0 x > 0 lim x^{2} = 0^{+}$ , par quotient $x \to 0 x > 0 lim \frac{ln ( x )}{x ^{2}} = - \infty$ , donc $x \to 0 x > 0 lim (\frac{ln ( x )}{x ^{2}} + 1) = - \infty$ , d'où :

$x \to 0 x > 0 lim f (x) = - \infty.$

Puisque $x \to 0 x > 0 lim f (x) = - \infty$ , la droite d'équation $x = 0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe $C_{f}$ .

Limite en $+ \infty$ : par croissance comparée $x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{2}} = 0$ , donc $x \to + \infty lim (\frac{ln ( x )}{x ^{2}} + 1) = 1$ , d'où :

$x \to + \infty lim f (x) = 1.$

Puisque $x \to + \infty lim f (x) = 1$ , la droite d'équation $y = 1$ admet la droite d'équation $y = 1$ pour asymptote horizontale en $+ \infty$ .

2. La fonction $f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ :

$f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \times x ^{2} - 2 x \times ln ( x )}{( x ^{2} ) ^{2}} = \frac{x - 2 x ln ( x )}{x ^{4}} = \frac{x ( 1 - 2 ln ( x ))}{x ^{4}} = \frac{1 - 2 ln ( x )}{x ^{3}} .$

3. Sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ on a $x^{3} > 0$ , donc $f^{'} (x)$ est du signe de $1 - 2 ln (x)$ .

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