Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Étude de la fonction x ↦ e^√x / (2√x)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par

$$f(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$$

et on appelle ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $g(x)=e^{\sqrt{x}}$.

a. Montrer que $g^{\prime }(x)=f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$.

b. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$, calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que :

$$f^{\prime }(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4x\sqrt{x}}$$

2. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.

b. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty [$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.

c. Montrer que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1;+\infty [$ et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution.

4. On pose $I={\int }_1^{2}f(x)dx$.

a. Calculer $I$.

b. Interpréter graphiquement le résultat.

5. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$ et que :

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}(x-3\sqrt{x}+3)}{8x^2\sqrt{x}}$$

a. En posant $X=\sqrt{x}$, montrer que $x-3\sqrt{x}+3>0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty [$.

b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$.