Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Étude de la fonction x ↦ e^√x / (2√x)

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par

$f (x) = \frac{e ^{x}}{2 x}$

et on appelle $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $g (x) = e^{x}$ .

a. Montrer que $g^{'} (x) = f (x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

b. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0; + \infty [$ , calculer $f^{'} (x)$ et montrer que :

$f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{4 x x}$

2. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ .

b. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .

b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $] 0; + \infty [$ . Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.

c. Montrer que l'équation $f (x) = 2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1; + \infty [$ et donner une valeur approchée à $1 0^{- 1}$ près de cette solution.

4. On pose $I = \int_{1}^{2} f (x) d x$ .

a. Calculer $I$ .

b. Interpréter graphiquement le résultat.

5. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ et que :

$f^{''} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 3 x + 3 )}{8 x ^{2} x}$

a. En posant $X = x$ , montrer que $x - 3 x + 3 > 0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .

Corrigé

1. a. La fonction $g$ est continue et dérivable sur $] 0; + \infty [$ , donc $\forall x \in] 0; + \infty [$ ,

$g^{'} (x) = \frac{1}{2 x} \times e^{x} = \frac{e ^{x}}{2 x} = f (x)$

b. La fonction $f$ est continue et dérivable sur $] 0; + \infty [$ , donc $\forall x \in] 0; + \infty [$ ,

$f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{2 x} e ^{x} \times 2 x - e ^{x} \times 2 \times \frac{1}{2 x}}{( 2 x ) ^{2}} = \frac{e ^{x} - \frac{e ^{x}}{x}}{4 x} = \frac{\frac{x e ^{x} - e ^{x}}{x}}{4 x} = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{4 x x}$

2. a. $x \to 0 lim e^{x} = 1$ et $x \to 0 lim 2 x = 0$ avec $\frac{e ^{x}}{2 x} > 0$ , donc $x \to 0 lim f (x) = + \infty$ .

b. Donc $C_{f}$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 0$ .

3. a. D'après les croissances comparées, $u \to + \infty lim \frac{e ^{u}}{u} = + \infty$ , donc par composition de limites (en posant $u (x) = x$ ), $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .

b. $\forall x \in] 0; + \infty [$ , $e^{x} > 0$ et $4 x x > 0$ , donc $f^{'} (x)$ est du même signe que $x - 1$ . Or $x - 1 ⩾ 0 ⟺ x ⩾ 1 ⟺ x ⩾ 1$ .

(tableau de variations : $f$ est strictement décroissante sur $] 0; 1]$ puis strictement croissante sur $[1; + \infty [$ ; minimum $\frac{e}{2}$ atteint en $x = 1$ ; limites $+ \infty$ en $0^{+}$ et $+ \infty$ en $+ \infty$ .)

c. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[1; + \infty [$ à valeurs dans $[\frac{e}{2}; + \infty [$ . Or $2 \in [\frac{e}{2}; + \infty [$ (car $\frac{e}{2} < 2$ ). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f (x) = 2$ admet une unique solution notée $α$ dans $[1; + \infty [$ . À la calculatrice : $α \approx 4, 6$ .

4. a. $\forall x \in [1; 2]$ , $f (x) = \frac{e ^{x}}{2 x} = \frac{1}{2 x} \times e^{x}$ . En remarquant que la dérivée de la fonction $g$ est la fonction $f$ , la fonction $g$ est une primitive de $f$ . Donc :

$I = \int_{1}^{2} f (x) d x = [g (x)]_{1}^{2} = [e^{x}]_{1}^{2} = e^{2} - e$

b. Comme $f$ est positive sur $[1; 2]$ , $I = e^{2} - e$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ .

5. a. On pose $X = x$ pour $x \in] 0; + \infty [$ . Alors $x - 3 x + 3 = X^{2} - 3 X + 3$ . Le discriminant vaut $Δ = (- 3)^{2} - 4 \times 1 \times 3 = - 3 < 0$ , donc le trinôme $X^{2} - 3 X + 3$ est strictement positif pour tout $X$ . Ainsi, pour tout $x \in] 0; + \infty [$ , $x - 3 x + 3 > 0$ .

b. $\forall x \in] 0; + \infty [$ , $e^{x} > 0$ , $x - 3 x + 3 > 0$ et $8 x^{2} x > 0$ , donc $f^{''} (x) > 0$ . La fonction $f$ est donc \boxed{\text{convexe sur }]0\,;+\infty[}.

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