Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Géométrie dans l'espace : plans médiateurs et point équidistant

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; , , k)$ . On considère les points $A (4; - 1; 3), B (- 1; 1; - 2), C (0; 4; 5), D (- 3; - 4; 6) .$

1. a) Vérifier que les points $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés. On admet qu'une équation cartésienne du plan $(A B C)$ est : $29 x + 30 y - 17 z = 35$ .

1. b) Les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont-ils coplanaires ? Justifier.

On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points. L'objectif de cet exercice est de déterminer le point $H$ se situant à égale distance des quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

On définit le plan médiateur d'un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

2. Soit $P_{1}$ le plan médiateur du segment $[A B]$ .

2. a) Déterminer les coordonnées du milieu du segment $[A B]$ .

2. b) En déduire qu'une équation cartésienne de $P_{1}$ est : $5 x - 2 y + 5 z = 10$ .

3. On note $P_{2}$ le plan médiateur du segment $[C D]$ .

3. a) Soit $M$ un point du plan $P_{2}$ de coordonnées $(x; y; z)$ . Exprimer $M C^{2}$ et $M D^{2}$ en fonction des coordonnées des points $M$ et $C$ , $D$ . En déduire qu'une équation cartésienne du plan $P_{2}$ est : $- 3 x - 8 y + z = 10$ .

3. b) Justifier que les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants.

4. Soit $Δ$ la droite dont une représentation paramétrique est : $⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 - 1, 9 t y = t z = 4 + 2, 3 t o u ˋ t \in R$ Démontrer que $Δ$ est la droite d'intersection de $P_{1}$ et $P_{2}$ .

On note $P_{3}$ le plan médiateur du segment $[A C]$ . On admet qu'une équation cartésienne du plan $P_{3}$ est : $8 x - 10 y - 4 z = - 15$ .

5. Démontrer que la droite $Δ$ et le plan $P_{3}$ sont sécants.

6. Justifier que le point d'intersection entre $Δ$ et $P_{3}$ est le point $H$ .

Corrigé

1. a) On calcule les coordonnées de $A B$ et $A C$ : $A B - 5 2 - 5 et A C - 4 52$ On constate que $\frac{- 5}{- 4} \neq = \frac{2}{5}$ . Comme les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires, donc $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1. b) $D$ appartient au plan $(A B C)$ si et seulement si les coordonnées de $D$ vérifient l'équation cartésienne du plan $(A B C)$ . $29 \times (- 3) + 30 \times (- 4) - 17 \times 6 = - 309 \neq = 35$ . Comme les coordonnées de $D$ ne vérifient pas l'équation cartésienne du plan $(A B C)$ , les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ne sont pas coplanaires.

2. a) Les coordonnées du milieu de $[A B]$ sont : $(\frac{4 + ( - 1 )}{2}; \frac{- 1 + 1}{2}; \frac{3 + ( - 2 )}{2}) soit (\frac{3}{2}; 0; \frac{1}{2})$

2. b) Un vecteur normal au plan $P_{1}$ médiateur du segment $[A B]$ est le vecteur $B A$ de coordonnées $5 - 2 5$ , donc une équation de $P_{1}$ est $5 x - 2 y + 5 z = k$ , avec $k$ tel que les coordonnées du milieu de $[A B]$ vérifient l'équation, c'est-à-dire : $5 \times \frac{3}{2} - 2 \times 0 + 5 \times \frac{1}{2} = k ⟺ k = 10$ Ainsi $5 x - 2 y + 5 z = 10$ est une équation cartésienne de $P_{1}$ .

3. a) $M C^{2} = (x - 0)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 5)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 y - 10 z + 16 + 25 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 y - 10 z + 41$ $M D^{2} = (x - (- 3))^{2} + (y - (- 4))^{2} + (z - 6)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x + 8 y - 12 z + 9 + 16 + 36 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x + 8 y - 12 z + 61$ $M$ appartient à $P_{2}$ est équivalent à $M C^{2} = M D^{2}$ : $M C^{2} = M D^{2} ⟺ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 y - 10 z + 41 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6 x + 8 y - 12 z + 61$ $⟺ - 6 x - 16 y + 2 z - 20 = 0 ⟺ - 6 x - 16 y + 2 z = 20 ⟺ - 3 x - 8 y + z = 10$ On obtient l'équation cartésienne de $P_{2}$ : $- 3 x - 8 y + z = 10$ .

3. b) Un vecteur normal à $P_{1}$ est le vecteur de coordonnées $5 - 2 5$ . Un vecteur normal à $P_{2}$ est le vecteur de coordonnées $- 3 - 8 1$ . On remarque que $\frac{5}{- 3} \neq = \frac{- 2}{- 8}$ . Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Comme les vecteurs normaux à $P_{1}$ et $P_{2}$ sont non colinéaires, alors les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants.

4. $\forall t \in R$ : $5 \times (- 2 - 1, 9 t) - 2 \times t + 5 \times (4 + 2, 3 t) = - 10 - 9, 5 t - 2 t + 20 + 11, 5 t = 10$ Tout point de $Δ$ appartient à $P_{1}$ . $\forall t \in R : - 3 \times (- 2 - 1, 9 t) - 8 \times t + (4 + 2, 3 t) = 6 + 5, 7 t - 8 t + 4 + 2, 3 t = 10$ Tout point de $Δ$ appartient à $P_{2}$ . $Δ$ est donc la droite d'intersection de $P_{1}$ et $P_{2}$ .

5. D'après la représentation paramétrique de $Δ$ , un vecteur directeur de $Δ$ est le vecteur $δ$ de coordonnées $19 - 10 23$ . Le plan $P_{3}$ admet un vecteur normal $n_{3}$ de coordonnées $8 - 10 - 4$ . La droite $Δ$ et le plan $P_{3}$ sont sécants si et seulement si un vecteur directeur de $Δ$ et un vecteur normal au plan $P_{3}$ ne sont pas orthogonaux. On calcule le produit scalaire des deux vecteurs précités : $δ \cdot n_{3} = 19 \times 8 + (- 10) \times (- 10) + 23 \times (- 4) = 152 + 100 - 92 = 160 \neq = 0$ Le produit scalaire n'est pas nul, les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux, $Δ$ et $P_{3}$ sont sécants.

6. On considère le point $H$ équidistant des points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Comme $A H = B H$ , $H$ appartient à $P_{1}$ . Comme $C H = D H$ , $H$ appartient à $P_{2}$ . Ainsi $H$ appartient à l'intersection des deux plans, c'est-à-dire à la droite $Δ$ . Comme $A H = C H$ , $H$ appartient au plan $P_{3}$ . Ainsi $H$ est l'intersection de $Δ$ et de $P_{3}$ .

Le point équidistant des sommets d'un tétraèdre est l'intersection des plans médiateurs de ses arêtes.

On peut déterminer les coordonnées de $H$ . Il suffit de résoudre l'équation : $8 (- 2 - 1, 9 t) - 10 t - 4 (4 + 2, 3 t) = - 15$

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