Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Géométrie dans l'espace : plans médiateurs et point équidistant

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O; , , k)$ . On considère les points $A (4; - 1; 3), B (- 1; 1; - 2), C (0; 4; 5), D (- 3; - 4; 6) .$

1. a) Vérifier que les points $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés. On admet qu'une équation cartésienne du plan $(A B C)$ est : $29 x + 30 y - 17 z = 35$ .

1. b) Les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont-ils coplanaires ? Justifier.

On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points. L'objectif de cet exercice est de déterminer le point $H$ se situant à égale distance des quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

On définit le plan médiateur d'un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

2. Soit $P_{1}$ le plan médiateur du segment $[A B]$ .

2. a) Déterminer les coordonnées du milieu du segment $[A B]$ .

2. b) En déduire qu'une équation cartésienne de $P_{1}$ est : $5 x - 2 y + 5 z = 10$ .

3. On note $P_{2}$ le plan médiateur du segment $[C D]$ .

3. a) Soit $M$ un point du plan $P_{2}$ de coordonnées $(x; y; z)$ . Exprimer $M C^{2}$ et $M D^{2}$ en fonction des coordonnées des points $M$ et $C$ , $D$ . En déduire qu'une équation cartésienne du plan $P_{2}$ est : $- 3 x - 8 y + z = 10$ .

3. b) Justifier que les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants.

4. Soit $Δ$ la droite dont une représentation paramétrique est : $⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 - 1, 9 t y = t z = 4 + 2, 3 t o u ˋ t \in R$ Démontrer que $Δ$ est la droite d'intersection de $P_{1}$ et $P_{2}$ .

On note $P_{3}$ le plan médiateur du segment $[A C]$ . On admet qu'une équation cartésienne du plan $P_{3}$ est : $8 x - 10 y - 4 z = - 15$ .

5. Démontrer que la droite $Δ$ et le plan $P_{3}$ sont sécants.

6. Justifier que le point d'intersection entre $Δ$ et $P_{3}$ est le point $H$ .

Corrigé

1. a) On calcule les coordonnées de $A B$ et $A C$ : $A B - 5 2 - 5 et A C - 4 52$ On constate que $\frac{- 5}{- 4} \neq = \frac{2}{5}$ . Comme les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires, donc $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

1. b) $D$ appartient au plan $(A B C)$ si et seulement si les coordonnées de $D$ vérifient l'équation cartésienne du plan $(A B C)$ . $29 \times (- 3) + 30 \times (- 4) - 17 \times 6 = - 309 \neq = 35$ . Comme les coordonnées de $D$ ne vérifient pas l'équation cartésienne du plan $(A B C)$ , les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ne sont pas coplanaires.

2. a) Les coordonnées du milieu de $[A B]$ sont : $(\frac{4 + ( - 1 )}{2}; \frac{- 1 + 1}{2}; \frac{3 + ( - 2 )}{2}) soit (\frac{3}{2}; 0; \frac{1}{2})$

2. b) Un vecteur normal au plan $P_{1}$ médiateur du segment $[A B]$ est le vecteur $B A$ de coordonnées $5 - 2 5$ , donc une équation de $P_{1}$ est $5 x - 2 y + 5 z = k$ , avec $k$ tel que les coordonnées du milieu de $[A B]$ vérifient l'équation, c'est-à-dire : $5 \times \frac{3}{2} - 2 \times 0 + 5 \times \frac{1}{2} = k ⟺ k = 10$ Ainsi $5 x - 2 y + 5 z = 10$ est une équation cartésienne de $P_{1}$ .

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