Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Plans de l'espace, vecteur normal et droite d'intersection

4 points

On se place dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace.

On considère les points $A(1;0;3)$, $B(-2;1;2)$ et $C(0;3;2)$.

1. a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

b. Soit $\overrightarrow{n}$ le vecteur de coordonnées $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$. Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.

c. En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne $-x+y+4z-11=0$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x-3y+2z-9=0$ et le plan ${\mathcal{P}}^{\prime }$ d'équation cartésienne $x-y-z+2=0$.

2. a. Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.

b. Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ sont perpendiculaires.

3. Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.

4. Montrer que le point $M(2;1;3)$ appartient aux plans $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

5. Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$.

Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et ${\mathcal{P}}^{\prime }$ ?