Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Plans de l'espace, vecteur normal et droite d'intersection

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

4 points

On se place dans un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ de l'espace.

On considère les points $A (1; 0; 3)$ , $B (- 2; 1; 2)$ et $C (0; 3; 2)$ .

1. a. Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

b. Soit $n$ le vecteur de coordonnées $- 1 14$ . Vérifier que le vecteur $n$ est orthogonal au plan $(A B C)$ .

c. En déduire que le plan $(A B C)$ admet pour équation cartésienne $- x + y + 4 z - 11 = 0$ .

On considère le plan $P$ d'équation cartésienne $3 x - 3 y + 2 z - 9 = 0$ et le plan $P^{'}$ d'équation cartésienne $x - y - z + 2 = 0$ .

2. a. Démontrer que les plans $P$ et $P^{'}$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.

b. Déterminer si les plans $P$ et $P^{'}$ sont perpendiculaires.

3. Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $u 110$ .

4. Montrer que le point $M (2; 1; 3)$ appartient aux plans $P$ et $P^{'}$ . En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$ .

5. Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(A B C)$ .

Que peut-on dire des trois plans $(A B C)$ , $P$ et $P^{'}$ ?

Corrigé

1. a. $A B - 3 1 - 1$ et $A C - 1 3 - 1$ . Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car $\frac{- 3}{- 1} \neq = \frac{1}{3}$ .

Les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

b. D'après la question précédente, les vecteurs $A B$ et $A C$ forment une base du plan $(A B C)$ . Avec $n - 1 14$ , on calcule $n \cdot A B$ et $n \cdot A C$ :

$n \cdot A B = 3 + 1 - 4 = 0$ et $n \cdot A C = 1 + 3 - 4 = 0$ . $n$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(A B C)$ donc il est normal à ce plan $(A B C)$ .

c. $n$ étant normal au plan $(A B C)$ , une équation cartésienne de ce plan est de la forme : $- x + y + 4 z + d = 0$ avec $d \in R$ .

$A (1; 0; 3) \in (A B C)$ donc $- 1 + 0 + 12 + d = 0 ⟺ d = - 11$ .

Donc $(A B C) : - x + y + 4 z - 11 = 0$ .

2. a. Le vecteur $n_{1} 3 - 3 2$ est normal au plan $P$ , le vecteur $n_{2} 1 - 1 - 1$ est normal au plan $P^{'}$ . Les vecteurs $n_{1}$ et $n_{2}$ ne sont pas colinéaires car $\frac{3}{1} \neq = \frac{2}{- 1}$ . Donc les plans $P$ et $P^{'}$ ne sont ni parallèles ni confondus. Ils sont donc sécants.

b. $n_{1} \cdot n_{2} = 3 + 3 - 2 = 4 \neq = 0$ donc les plans ne sont pas perpendiculaires.

$(d)$ est la droite d'intersection des plans $P$ et $P^{'}$ dont les vecteurs normaux sont respectivement $v 3 - 3 2$ et $v^{'} 1 - 1 - 1$ .

3. Pour montrer que $u$ dirige $(d)$ , il suffit de prouver que ce vecteur est contenu dans chacun des deux plans, soit $u \cdot v = 0$ et $u \cdot v^{'} = 0$ .

Or, $u \cdot v = 1 \times 3 + 1 \times (- 3) + 0 = 0$ et $u \cdot v^{'} = 1 \times 1 + 1 \times (- 1) = 0$ .

Ainsi, $(d)$ est bien dirigée par $u$ .

4. On remplace les coordonnées de $M$ dans les deux équations de plans :

$6 - 3 + 6 - 9 = 12 - 12 = 0$ donc $M \in P$ ;
$2 - 1 - 3 + 2 = 4 - 4 = 0$ donc $M \in P^{'}$ .

La droite $(d)$ passe donc par $M$ et a pour vecteur directeur $u$ :

$(d) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 1 + t z = 3, t \in R .$

5. On cherche l'intersection de $(A B C)$ et de $(d)$ . On résout le système :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 1 + t z = 3 - x + y + 4 z - 11 = 0$

S'il admet une infinité de solutions alors $(d) \subset (A B C)$ .

On remplace $x$ , $y$ et $z$ dans la dernière équation :

$- x + y + 4 z - 11 = 0 \Rightarrow - (2 + t) + 1 + t + 4 \times 3 - 11 = 0 ⟺ 0 = 0$ . La dernière équation est vérifiée quelque soit la valeur de $t$ . Donc ce système admet une infinité de solutions. $(d) \subset (A B C)$ .

Donc la droite $(d)$ appartient aux trois plans $(A B C)$ , $P$ et $P^{'}$ . Reprenons les trois vecteurs normaux des trois plans : $n - 1 14$ , $n_{1} 3 - 3 2$ et $n_{2} 1 - 1 - 1$ .

$u$ et $n_{1}$ ne sont pas colinéaires, de même pour $u$ et $n_{2}$ . Le plan $(A B C)$ n'est donc confondu ni avec $P$ ni avec $P^{'}$ . Ces trois plans sont simplement sécants, d'intersections $(d)$ .

$Les trois plans (A B C), P et P^{'} sont s e ˊ cants suivant la droite (d) .$

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