Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Projeté orthogonal et orthocentre dans l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ .

On considère les points $A (23; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 1) et K (\frac{3}{2}; \frac{3}{2}; 0) .$

1. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(C K)$ est : $⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{3}{2} t y = \frac{3}{2} t z = 1 - t (t \in R) .$

2. Soit $M (t)$ un point de la droite $(C K)$ paramétrée par un réel $t$ . Établir que $O M (t) = 4 t^{2} - 2 t + 1$ .

3. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $R$ par $f (t) = O M (t)$ .

a. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $R$ .

b. En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $f$ atteint son minimum.

4. En déduire que le point $H (\frac{3}{8}; \frac{3}{8}; \frac{3}{4})$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur la droite $(C K)$ .

5. Démontrer, à l'aide de l'outil produit scalaire, que le point $H$ est l'orthocentre (intersection des hauteurs d'un triangle) du triangle $A B C$ .

6. a. Démontrer que la droite $(O H)$ est orthogonale au plan $(A B C)$ .

b. En déduire une équation du plan $(A B C)$ .

7. Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle $A B C$ .

Corrigé

1. La droite $(C K)$ est l'ensemble des points $M (x, y, z)$ tels que $C M$ et $C K$ soient colinéaires, c'est-à-dire tels que $C M = t C K$ où $t \in R$ .

$C M$ a pour coordonnées $x_{M} - x_{C} y_{M} - y_{C} z_{M} - z_{C} = x y z - 1$ et celles de $C K$ sont $\frac{3}{2} \frac{3}{2} - 1$ . $C M = t C K ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{3}{2} t y = \frac{3}{2} t z - 1 = - t ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{3}{2} t y = \frac{3}{2} t z = - t + 1$ La droite $(C K)$ a donc pour représentation paramétrique $⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{3}{2} t y = \frac{3}{2} t z = - t + 1 (t \in R)$ .

2. Le point $M (t)$ a pour coordonnées $(\frac{3}{2} t; \frac{3}{2} t; - t + 1)$ . Donc : $O M (t)^{2} = (\frac{3}{2} t)^{2} + (\frac{3}{2} t)^{2} + (- t + 1)^{2} = \frac{3}{4} t^{2} + \frac{9}{4} t^{2} + t^{2} - 2 t + 1 = 4 t^{2} - 2 t + 1.$ Donc $O M (t) = 4 t^{2} - 2 t + 1$ .

3. a. $f$ est définie et dérivable sur $R$ par $f (t) = 4 t^{2} - 2 t + 1$ , donc $f^{'} (t) = \frac{8 t - 2}{2 4 t ^{2} - 2 t + 1}$ .

On étudie le signe de $f^{'} (t)$ sur $R$ .

(tableau de signes : $8 t - 2$ est négatif sur $] - \infty; \frac{1}{4} [$ , nul en $t = \frac{1}{4}$ , positif au-delà ; $2 4 t^{2} - 2 t + 1$ est toujours strictement positif ; donc $f^{'} (t)$ est négatif, nul en $t = \frac{1}{4}$ , puis positif.)

Donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $] - \infty; \frac{1}{4}]$ et strictement croissante sur l'intervalle $[\frac{1}{4}; + \infty [$ .

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