Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : QCM : dénombrement, intégrales, équation différentielle, suite

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soient $E$ et $F$ les ensembles $E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}$ et $F = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}$ .

Affirmation n° 1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$ .

2. Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée $f$ , ainsi que le carré ABCD de côté 3.

Affirmation n° 2 : La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.

(figure : courbe de la fonction carré $f$ et carré ABCD ; zone hachurée comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$ )

3. On considère l'intégrale $J$ ci-dessous :

$J = \int_{1}^{2} x ln (x) d x .$

Affirmation n° 3 : Une intégration par parties permet d'obtenir : $J = \frac{7}{11}$ .

4. Sur $R$ , on considère l'équation différentielle

$(E) : y^{'} = 2 y - e^{x} .$

Affirmation n° 4 : La fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = e^{x} + e^{2 x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ .

5. Soit $x$ donné dans $[0; 1 [$ . On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$u_{n} = (x - 1) e^{n} + cos (n) .$

Affirmation n° 5 : La suite $(u_{n})$ diverge vers $- \infty$ .

Corrigé

1. Affirmation n° 1 : Fausse.

On a $Card (E) = 7$ et $Card (F) = 10$ .

Les 3-uplets d'éléments distincts de $E$ , ce sont les arrangements de 3 éléments distincts (l'ordre compte, sans répétition) choisis parmi 7. Il y en a donc :

$\frac{7 !}{( 7 - 3 )!} = \frac{7 !}{4 !} = 7 \times 6 \times 5 = 210.$

Les combinaisons à 4 éléments de $F$ sont des ensembles (sans ordre, sans répétition) de 4 éléments choisis parmi 10. Il y en a :

$(4 10) = \frac{10 !}{( 10 - 4 )! \times 4 !} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2} = 10 \times 3 \times 1 \times 7 = 210.$

Il y a donc exactement le même nombre, et pas davantage, de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$ . L'affirmation est $fausse$ .

2. Affirmation n° 2 : Vraie.

En effet, le carré ABCD a un côté de 3 unités de longueur, donc son aire est de $3^{2} = 9$ unités d'aire.

Par ailleurs, la zone hachurée est délimitée par l'axe des abscisses, la courbe représentant la fonction carré et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 3$ . La fonction carré étant continue et positive sur $[0; 3]$ , l'aire de cette zone, en unités d'aire, est égale à l'intégrale :

$\int_{0}^{3} x^{2} d x = [\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3} = (\frac{1}{3} \times 3^{3}) - (\frac{1}{3} \times 0^{3}) = 9 - 0 = 9 unit e ˊ s d’aire.$

Les deux zones ont donc bien la même aire, de 9 unités d'aire. L'affirmation est $vraie$ .

3. Affirmation n° 3 : Fausse.

Pour tout $x$ dans $[1; 2]$ , on pose : $⎩ ⎨ ⎧ u (x) = \frac{1}{2} x^{2} v (x) = ln (x)$ et $⎩ ⎨ ⎧ u^{'} (x) = x v^{'} (x) = \frac{1}{x}$ .

On a alors :

$J = \int_{1}^{2} x ln (x) d x = \int_{1}^{2} u^{'} (x) \times v (x) d x donc, par int e ˊ gration par parties : = [u (x) \times v (x)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u (x) \times v^{'} (x) d x = [\frac{1}{2} x^{2} \times ln (x)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2} x^{2} \times \frac{1}{x} d x = (\frac{1}{2} \times 2^{2} \times ln (2)) - (\frac{1}{2} \times 1^{2} \times ln (1)) - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x = 2 ln (2) - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} = 2 ln (2) - \frac{1}{2} [(\frac{1}{2} \times 2^{2}) - (\frac{1}{2} \times 1^{2})] = 2 ln (2) - \frac{3}{4} \approx 0, 63629$

Or $\frac{7}{11} \approx 0, 63636$ , donc $J \neq = \frac{7}{11}$ . L'affirmation est $fausse$ .

4. Affirmation n° 4 : Vraie.

D'une part, $f$ est dérivable sur $R$ et, pour tout $x$ réel, on a $f^{'} (x) = e^{x} + 2 e^{2 x}$ .

D'autre part, pour tout réel $x$ , on a :

$2 f (x) - e^{x} = 2 (e^{x} + e^{2 x}) - e^{x} = 2 e^{x} + 2 e^{2 x} - e^{x} = e^{x} + 2 e^{2 x} .$

On constate donc que, pour tout $x$ réel, $f^{'} (x) = 2 f (x) - e^{x}$ . Autrement dit, la fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(E)$ , donc $f$ est bien une solution de $(E)$ . L'affirmation est $vraie$ .

5. Affirmation n° 5 : Vraie.

Soit $x$ un réel dans $[0; 1 [$ . On a donc $(x - 1) \in [- 1; 0 [$ . Autrement dit, le réel $(x - 1)$ est strictement négatif.

Ainsi, comme $n \to + \infty lim e^{n} = + \infty$ et que $(x - 1) < 0$ , on en déduit, par limite du produit : $n \to + \infty lim (x - 1) e^{n} = - \infty$ .

Par limite de la somme, on en déduit que $n \to + \infty lim ((x - 1) e^{n} + 1) = - \infty$ .

Comme la fonction cos est bornée par 1, on a, pour tout $n \in N$ , $- 1 \leq cos (n) \leq 1$ , et donc notamment $\forall n \in N$ , $cos (n) \leq 1 \Rightarrow (x - 1) e^{n} + cos (n) \leq (x - 1) e^{n} + 1$ .

Comme on a établi que $n \to + \infty lim ((x - 1) e^{n} + 1) = - \infty$ , cela implique, par comparaison, que $n \to + \infty lim ((x - 1) e^{n} + cos (n)) = - \infty$ .

La suite $(u_{n})$ diverge bien vers $- \infty$ . L'affirmation est $vraie$ .

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