Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : QCM : dénombrement, intégrales, équation différentielle, suite

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soient $E$ et $F$ les ensembles $E=\{1;2;3;4;5;6;7\}$ et $F=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$.

Affirmation n° 1 : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.

2. Dans le repère orthonormé ci-contre, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré ABCD de côté 3.

Affirmation n° 2 : La zone hachurée et le carré ABCD ont la même aire.

(figure : courbe de la fonction carré $f$ et carré ABCD ; zone hachurée comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=3$)

3. On considère l'intégrale $J$ ci-dessous :

$$J={\int }_1^{2}x\ln (x)\mathrm{d}x.$$

Affirmation n° 3 : Une intégration par parties permet d'obtenir : $J=\frac{7}{11}$.

4. Sur $\mathbb{R}$, on considère l'équation différentielle

$$(E):y^{\prime }=2y-{\mathrm{e}}^x.$$

Affirmation n° 4 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

5. Soit $x$ donné dans $[0;1[$. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$$u_n=(x-1){\mathrm{e}}^n+\cos (n).$$

Affirmation n° 5 : La suite $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.