Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : QCM : limites, équation différentielle, suite, convexité, dénombrement

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par : $f (x) = ln (x) - x^{2} .$ Affirmation 1 : $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ .

2. On considère l'équation différentielle $(E) : - 2 y^{'} + 3 y = sin x + 8 cos x .$ On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par : $f (x) = 2 cos x - sin x .$ Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ .

3. On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par : $g (x) = ln (3 x + 1) + 8.$ On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 25$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n + 1} = g (u_{n}) .$ On admet que la suite $(u_{n})$ est strictement positive. Affirmation 3 : La suite $(u_{n})$ est décroissante.

4. On considère une fonction affine $h$ définie sur $R$ .

On note $k$ la fonction définie sur $R$ par $k (x) = x^{4} + x^{2} + h (x)$ .

Affirmation 4 : La fonction $k$ est convexe sur $R$ .

5. Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot.

Exemple : le mot BAC possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.

Affirmation 5 : Le mot EULER possède 120 anagrammes.

Corrigé

1. Puisque $x > 0$ , on peut écrire $f (x) = x^{2} (\frac{ln ( x )}{x ^{2}} - 1)$ .

On sait (croissances comparées) que $x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{2}} = 0$ , donc que $x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{2}} - 1 = - 1$ .

Comme $x \to + \infty lim x^{2} = + \infty$ , on obtient finalement par produit de limites : $x \to + \infty lim x^{2} (\frac{ln ( x )}{x ^{2}} - 1) = - \infty.$

L'affirmation 1 est vraie.

2. $f (x) = 2 cos x - sin x$ donc $f^{'} (x) = - 2 sin x - cos x$ . Donc : $- 2 f^{'} (x) + 3 f (x) = - 2 (- 2 sin x - cos x) + 3 (2 cos x - sin x)$ $= 4 sin x + 2 cos x + 6 cos x - 3 sin x = sin x + 8 cos x .$

Donc la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $- 2 y^{'} + 3 y = sin x + 8 cos x$ , c'est-à-dire de $(E)$ .

L'affirmation 2 est vraie.

3. On a $u_{0} = 25$ et donc $u_{1} = ln (3 \times 25 + 1) + 8 = ln (76) + 8 \approx 12, 3 < 25$ .

On peut donc supposer que la suite est décroissante et que l'on démontre par récurrence : soit $(P_{n}) : u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ .

Initialisation : on l'a vu au rang $u_{1} < u_{0}$ donc $P_{0}$ est vraie.

Hérédité : soit $n \in N$ et supposons que $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ ; on a à successivement : $u_{n + 1} ⩽ u_{n} ⟺ 3 u_{n + 1} ⩽ 3 u_{n}$ $⟺ 3 u_{n + 1} + 1 ⩽ 3 u_{n} + 1$ $⟺ ln (3 u_{n + 1} + 1) ⩽ ln (3 u_{n} + 1) par croissance de la fonction ln$ $⟺ ln (3 u_{n + 1} + 1) + 8 ⩽ ln (3 u_{n} + 1) + 8$ $⟺ u_{n + 2} ⩽ u_{n + 1}$

La relation est vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion : la relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n \in N$ , elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence quel que soit $n \in N$ , $u_{n + 1} ⩽ u_{n}$ : ceci montre que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

L'affirmation 3 est vraie.

4. Une application affine de la forme $h (x) = a x + b$ , avec $a \in R$ et $b \in R$ .

Donc $k (x) = x^{4} + x^{2} + a x + b$ et $k$ est une fonction polynôme dérivable sur $R$ et sur cet intervalle on a successivement : $k^{'} (x) = 4 x^{3} + 2 x + a,$ $k^{''} (x) = 12 x^{2} + 2,$ comme un carré est supérieur ou égal à zéro, il en résulte que $k^{''} (x) ⩾ 2 > 0$ .

Sur $R$ , la dérivée seconde est supérieure à zéro, donc la fonction $k$ est convexe sur $R$ .

L'affirmation 4 est vraie.

5. Avec 5 lettres différentes le nombre d'anagrammes est égal à $5! = 120$ .

Comme EULER possède deux lettres identiques le nombre d'anagrammes est égal à $\frac{5 !}{2 !} = \frac{120}{2} = 60.$

L'affirmation 5 est fausse.

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