Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : QCM (vrai/faux) : dénombrement et probabilités
Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.
Énoncé
4 points
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Un musée propose des visites avec ou sans audioguide. Les billets peuvent être achetés en ligne ou directement au guichet.
1. Lorsqu'une personne achète son billet en ligne, un code de validation lui est envoyé par SMS afin qu'elle confirme son achat.
Ce code est généré de façon aléatoire et est constitué de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de 0.
Affirmation 1 : Le nombre de codes différents pouvant être générés est 5 040.
2. Une étude a permis de considérer que :
- la probabilité qu'une personne choisisse l'audioguide sachant qu'elle a acheté son billet en ligne est égale à ;
- la probabilité qu'une personne achète son billet en ligne est égale à ;
- la probabilité qu'une personne opte pour une visite sans audioguide est égale à .
Affirmation 2 : La probabilité qu'un visiteur ne prenne pas l'audioguide sachant qu'il a acheté son billet au guichet est supérieure à deux tiers.
3. On choisit au hasard 12 visiteurs de ce musée.
On suppose que le choix de l'option « audioguide » est indépendant d'un visiteur à l'autre.
Affirmation 3 : La probabilité qu'exactement la moitié de ces visiteurs opte pour l'audioguide est égale à .
4. Lorsqu'une personne dispose d'un audioguide, elle peut choisir parmi trois parcours :
- un premier d'une durée de cinquante minutes,
- un deuxième d'une durée d'une heure et vingt minutes,
- un troisième d'une durée d'une heure et quarante minutes.
Le temps de parcours peut être modélisé par une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :
(figure : tableau de la loi de probabilité de : = 50 min, 1 h 20 min, 1 h 40 min ; = ; ; .)
Affirmation 4 : L'espérance de est 77 minutes.
Corrigé
1. Affirmation 1 : Fausse.
Un code de validation tel que décrit sera assimilable à un quadruplet d'entiers ; en effet, dans un code, l'ordre des chiffres est important, et donc on cherche bien un quadruplet, et non pas un ensemble de cardinal 4. On va noter le quadruplet en question.
On note : l'ensemble des 10 chiffres de 0 à 9.
- sera choisi dans l'ensemble , qui a un cardinal de 9, en effet, le premier chiffre doit être différent de 0, d'après l'énoncé.
- Les trois chiffres suivants forment un triplet un triplet d'entiers distincts choisis dans , qui a aussi comme cardinal 9 : c'est un arrangement de 3 éléments choisis parmi 9, il y a donc : façons de choisir les trois chiffres suivants.
- Par principe multiplicatif, il existe donc : codes différents.
Remarque : On peut aussi rédiger de la façon suivante :
- Pour le premier chiffre, on a 9 choix possible (n'importe quel chiffre, sauf 0) ;
- Pour le deuxième chiffre, on a 9 choix possibles (n'importe quel chiffre, sauf le premier) ;
- Pour le troisième chiffre, on a 8 choix possibles (n'importe quel chiffre, sauf les deux premiers) ;
- Et pour le quatrième chiffre, on a 7 choix possibles (n'importe quel chiffre, sauf les trois premiers) ;
- Ainsi, par principe multiplicatif, il existe donc : codes différents.
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