Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : QCM Vrai/Faux : équation différentielle, dénombrement, suite, produit scalaire, convexité

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère l'équation différentielle : $(E) y^{'} = \frac{1}{2} y + 4.$ Affirmation 1 : Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $R$ par : $f (x) = k e^{\frac{1}{2} x} - 8, avec k \in R .$

2. Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons. On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons. Affirmation 2 : Il y a 297 024 possibilités pour former une telle équipe.

3. Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n} = \frac{n}{2 + cos ( n )} .$ Affirmation 3 : La suite $(v_{n})$ diverge vers $+ \infty$ .

4. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; , , k)$ , on considère les points $A (1; 1; 2)$ , $B (5; - 1; 8)$ et $C (2; 1; 3)$ . Affirmation 4 : $A B \cdot A C = 10$ et une mesure de l'angle $B A C$ est 30°.

5. On considère une fonction $h$ définie sur $] 0; + \infty [$ dont la dérivée seconde est définie sur $] 0; + \infty [$ par : $h^{''} (x) = x ln x - 3 x .$ Affirmation 5 : La fonction $h$ est convexe sur $[e^{3}; + \infty [$ .

Corrigé

1. Affirmation 1 : Vraie.

On reconnaît une forme présente dans le cours : les équations différentielles de la forme $y^{'} = a y + b$ , avec $a$ et $b$ réels et $a \neq = 0$ , ont pour solutions les fonctions de la forme $x ⟼ k e^{a x} - \frac{b}{a}$ , où $k$ est un réel quelconque.

Ici, on applique cette propriété avec $a = \frac{1}{2}$ et $b = 4$ , ce qui donne bien l'équation $y^{'} = \frac{1}{2} y + 4$ , ayant pour solutions les fonctions de la forme $x ⟼ k e^{\frac{1}{2} x} - \frac{4}{\frac{1}{2}}$ , soit $x ⟼ k e^{\frac{1}{2} x} - 8$ , avec $k \in R$ . $Affirmation 1 : Vraie$

2. Affirmation 2 : Vraie.

Une équipe de volley-ball telle que décrite est constituée d'un couple de deux ensembles. Les filles, comme les garçons, sont choisis sans répétition et sans ordre : on utilise des combinaisons.

3 filles choisies parmi les 18 de la classe : il y a $(3 18) = 816$ façons de choisir les trois filles.

3 garçons choisis parmi les 14 de la classe : il y a $(3 14) = 364$ façons de choisir les trois garçons.

Par principe multiplicatif, le nombre d'équipes différentes possibles est : $816 \times 364 = 297024$ . $Affirmation 2 : Vraie$

3. Affirmation 3 : Vraie.

Pour tout entier naturel $n$ : $- 1 ⩽ cos (n) ⩽ 1 ⟹ 1 ⩽ 2 + cos (n) ⩽ 3 ⟹ \frac{1}{3} ⩽ \frac{1}{2 + cos ( n )} ⩽ 1$ (la fonction inverse est décroissante sur $R_{+}^{*}$ ), $⟹ \frac{n}{3} ⩽ \frac{n}{2 + cos ( n )} ⩽ n$ car $n ⩾ 0$ , donc $\frac{n}{3} ⩽ v_{n}$ .

Or $n \to + \infty lim \frac{n}{3} = + \infty$ , donc, par comparaison, $n \to + \infty lim v_{n} = + \infty$ , ce qui correspond à l'affirmation 3. $Affirmation 3 : Vraie$

4. Affirmation 4 : Fausse.

On a $A B 4 - 2 6$ et $A C 101$ , donc, le repère étant orthonormé : $A B \cdot A C = 4 \times 1 + (- 2) \times 0 + 6 \times 1 = 10.$ La première partie de l'affirmation est donc vraie. Calculons les normes : $A B = 4^{2} + (- 2)^{2} + 6^{2} = 16 + 4 + 36 = 56 = 4 \times 14 = 214$ $A C = 1^{2} + 0^{2} + 1^{2} = 1 + 0 + 1 = 2$ Avec la définition trigonométrique du produit scalaire : $A B \cdot A C = A B \times A C \times cos (B A C)$ , soit $10 = 214 \times 2 \times cos (B A C) = 47 cos (B A C)$ .

D'où $cos (B A C) = \frac{10}{4 7} = \frac{5 7}{14}$ .

Or $cos (30°) = \frac{3}{2} \neq = \frac{5 7}{14}$ : l'angle ne mesure donc pas 30°, l'affirmation est fausse.

Remarque : une valeur approchée de la mesure de l'angle s'obtient à la calculatrice : $B A C = arccos (\frac{5 7}{14}) \approx 19°$ . $Affirmation 4 : Fausse$

5. Affirmation 5 : Vraie.

Pour tout $x$ réel strictement positif : $h^{''} (x) = x ln x - 3 x = x (ln x - 3)$ . Comme $x > 0$ , le signe de $h^{''} (x)$ est celui de $ln x - 3$ . $x \in [e^{3}; + \infty [⟹ x ⩾ e^{3} ⟹ ln (e^{3}) ⩽ ln (x) (ln croissante sur R_{+}^{*}) ⟹ 3 ⩽ ln (x) ⟹ 0 ⩽ ln (x) - 3 ⟹ 0 ⩽ h^{''} (x) .$ Sur l'intervalle $[e^{3}; + \infty [$ , la dérivée seconde de $h$ est à valeurs positives, donc $h^{'}$ est croissante sur cet intervalle, donc $h$ est convexe sur $[e^{3}; + \infty [$ . L'affirmation 5 est vraie. $Affirmation 5 : Vraie$

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