Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Suite d'évènements et arbre de probabilités

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Exercice 4 — 5,25 points

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Dans le cadre d'une expérience aléatoire, on considère une suite d'évènements $A_{n}$ et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$ .

Pour les parties A et B de l'exercice, on considère que :

Si l'évènement $A_{n}$ est réalisé alors l'évènement $A_{n + 1}$ est réalisé avec une probabilité $0, 3$ .
Si l'évènement $A_{n}$ n'est pas réalisé alors l'évènement $A_{n + 1}$ est réalisé avec une probabilité $0, 7$ .

On suppose que $p_{1} = 1$ .

Partie A :

1. Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous.

2. Montrer que $p_{3} = 0, 58$ .

3. Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_{3}} (A_{2})$ , arrondir le résultat à $1 0^{- 2}$ près.

Partie B :

Dans cette partie, on étudie la suite $(p_{n})$ avec $n ⩾ 1$ .

1. Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous.

2.a) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n + 1} = - 0, 4 p_{n} + 0, 7$ .

On considère la suite $(u_{n})$ , définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0, 5$ .

2.b) Montrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

2.c) En déduire l'expression de $u_{n}$ , puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ .

2.d) Déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ .

Partie C :

Soit $x \in] 0; 1 [$ , on suppose que $P_{A_{n}} (A_{n + 1}) = P_{A_{n}} (A_{n + 1}) = x$ . On rappelle que $p_{1} = 1$ .

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n + 1} = (1 - 2 x) p_{n} + x$ .

2. Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n} = \frac{1}{2} (1 - 2 x)^{n - 1} + \frac{1}{2}$ .

3. Montrer que la suite $(p_{n})$ est convergente et donner sa limite.

Corrigé

Partie A :

1. (figure : arbre complété. Depuis $A_{1}$ : branche vers $A_{2}$ de probabilité $0, 3$ , branche vers $A_{2}$ de probabilité $0, 7$ . Depuis $A_{2}$ : vers $A_{3}$ : $0, 3$ ; vers $A_{3}$ : $0, 7$ . Depuis $A_{2}$ : vers $A_{3}$ : $0, 7$ ; vers $A_{3}$ : $0, 3$ .)

2. ${A_{2}; A_{2}}$ forme une partition donc, d'après la formule des probabilités totales : $P (A_{3}) = P (A_{2} \cap A_{3}) + P (A_{2} \cap A_{3}) = P (A_{2}) \times P_{A_{2}} (A_{3}) + P (A_{2}) \times P_{A_{2}} (A_{3})$ $= 0, 3 \times 0, 3 + 0, 7 \times 0, 7 = 0, 09 + 0, 49 = 0, 58 .$

3. $P_{A_{3}} (A_{2}) = \frac{P ( A _{3} \cap A _{2} )}{P ( A _{3} )} = \frac{0 , 3 \times 0 , 3}{0 , 58} \approx 0, 16$ .

Partie B :

1. (figure : arbre complété. Depuis $A_{n}$ (probabilité $p_{n}$ ) : vers $A_{n + 1}$ : $0, 3$ ; vers $A_{n + 1}$ : $0, 7$ . Depuis $A_{n}$ (probabilité $1 - p_{n}$ ) : vers $A_{n + 1}$ : $0, 7$ ; vers $A_{n + 1}$ : $0, 3$ .)

2.a) ${A_{n}; A_{n}}$ forme une partition donc, d'après la formule des probabilités totales : $p_{n + 1} = P (A_{n + 1}) = P (A_{n} \cap A_{n + 1}) + P (A_{n} \cap A_{n + 1}) = P (A_{n}) \times P_{A_{n}} (A_{n + 1}) + P (A_{n}) \times P_{A_{n}} (A_{n + 1})$ $= p_{n} \times 0, 3 + (1 - p_{n}) \times 0, 7 = 0, 3 p_{n} + 0, 7 - 0, 7 p_{n} = - 0, 4 p_{n} + 0, 7 .$

2.b) Pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_{n + 1} = p_{n + 1} - 0, 5 = - 0, 4 p_{n} + 0, 7 - 0, 5 = - 0, 4 p_{n} + 0, 2 = - 0, 4 (p_{n} - 0, 5) = - 0, 4 u_{n} .$ Donc la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q = - 0, 4$ et de premier terme $u_{1} = p_{1} - 0, 5 = 1 - 0, 5 = 0, 5$ .

2.c) On en déduit que pour tout entier naturel $n$ non nul : $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1} = 0, 5 \times (- 0, 4)^{n - 1} et p_{n} = u_{n} + 0, 5 = 0, 5 \times (- 0, 4)^{n - 1} + 0, 5.$

2.d) Comme $- 1 < - 0, 4 < 1$ , on a $lim_{n \to + \infty} (- 0, 4)^{n - 1} = 0$ donc $n \to + \infty lim p_{n} = 0, 5$ .

Partie C :

1. ${A_{n}; A_{n}}$ forme une partition donc, d'après la formule des probabilités totales : $p_{n + 1} = P (A_{n} \cap A_{n + 1}) + P (A_{n} \cap A_{n + 1}) = P (A_{n}) \times P_{A_{n}} (A_{n + 1}) + P (A_{n}) \times P_{A_{n}} (A_{n + 1})$ $= p_{n} \times (1 - x) + (1 - p_{n}) \times x = p_{n} - x p_{n} + x - x p_{n} = (1 - 2 x) p_{n} + x .$

2. On démontre par récurrence que $p_{n} = \frac{1}{2} (1 - 2 x)^{n - 1} + \frac{1}{2}$ pour tout entier naturel $n ⩾ 1$ .

Initialisation : Pour $n = 1$ , on a $\frac{1}{2} (1 - 2 x)^{1 - 1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ . Or $p_{1} = 1$ . La propriété est vraie au rang $n = 1$ .

Hérédité : On suppose la propriété vraie à un rang $n$ , c'est-à-dire que $p_{n} = \frac{1}{2} (1 - 2 x)^{n - 1} + \frac{1}{2}$ ; c'est l'hypothèse de récurrence. $p_{n + 1} = (1 - 2 x) p_{n} + x = (1 - 2 x) [\frac{1}{2} (1 - 2 x)^{n - 1} + \frac{1}{2}] + x$ $= (1 - 2 x) \times \frac{1}{2} (1 - 2 x)^{n - 1} + (1 - 2 x) \times \frac{1}{2} + x = \frac{1}{2} (1 - 2 x)^{n} + \frac{1}{2} - x + x = \frac{1}{2} (1 - 2 x)^{n} + \frac{1}{2} .$ La propriété est donc vraie au rang $n + 1$ .

Conclusion : La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire ; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.

3. Comme $0 < x < 1$ , on a $- 2 < - 2 x < 0$ donc $- 1 < 1 - 2 x < 1$ . On en déduit $lim_{n \to + \infty} (1 - 2 x)^{n - 1} = 0$ donc $n \to + \infty lim p_{n} = \frac{1}{2}$ .

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