Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Suite récurrente d'ordre 2 et suite auxiliaire géométrique

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $⎩ ⎨ ⎧ u_{0} = 0 u_{1} = \frac{1}{2} u_{n + 2} = u_{n + 1} - \frac{1}{4} u_{n}$

Partie A : Conjecture

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.

(tableau : $n$ de $0$ à $5$ ; ligne $u_{n}$ donnée pour $n = 0$ : $0$ , pour $n = 1$ : $\frac{1}{2}$ , pour $n = 2$ : $\frac{1}{2}$ , et à compléter pour $n = 3$ , $4$ , $5$ .)

2. Conjecturer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

Soit $(w_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_{n} = u_{n + 1} - \frac{1}{2} u_{n} .$

1. Calculer $w_{0}$ .

2. Démontrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .

3. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ .

4. Montrer que pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n + 1} = (\frac{1}{2})^{n + 1} + \frac{1}{2} u_{n} .$

5. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ , $u_{n} = n (\frac{1}{2})^{n}$ .

Partie C : Étude de la suite $(u_{n})$

1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante à partir du rang $n = 1$ .

2. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.

3. On admet que la limite de la suite $(u_{n})$ est solution de l'équation : $ℓ = ℓ - \frac{1}{4} ℓ$ . Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Corrigé

Partie A : Conjecture

1. Voici le tableau complété (on peut calculer rapidement les termes à la main, puis vérifier à la calculatrice) :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$u_{n}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{32}$

2. Par exploration à la calculatrice, les termes de la suite semblent décroître, tout en restant strictement positifs, on a $u_{100} \approx 8 \times 1 0^{- 29}$ , et $u_{1000} \approx 9 \times 1 0^{- 299}$ .

On suppose que la suite converge vers $0$ .

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

1. On a : $w_{0} = u_{1} - \frac{1}{2} u_{0} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times 0 = \frac{1}{2} .$

2. On va établir la relation de récurrence de $(w_{n})$ . Soit $n$ un entier naturel.

$w_{n + 1} = u_{n + 2} - \frac{1}{2} u_{n + 1} (d e ˊ finition de w au rang n + 1)$ $= (u_{n + 1} - \frac{1}{4} u_{n}) - \frac{1}{2} u_{n + 1} (relation de r e ˊ currence de u)$ $= \frac{1}{2} u_{n + 1} - \frac{1}{4} u_{n}$ $= \frac{1}{2} (u_{n + 1} - \frac{1}{2} u_{n})$ $= \frac{1}{2} w_{n} (d e ˊ finition de w au rang n) .$ Ainsi, on a : $w_{n + 1} = \frac{1}{2} w_{n}$ .

Cette relation de récurrence établit que $(w_{n})$ est une suite géométrique, de raison $q = \frac{1}{2}$ , et de premier terme $w_{0} = \frac{1}{2}$ .

3. Puisque la suite est géométrique, on a la propriété classique : $\forall n \in N, w_{n} = w_{0} \times q^{n} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2})^{n} = (\frac{1}{2})^{n + 1} .$

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