Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Suite récurrente d'ordre 2 et suite auxiliaire géométrique

Partie A : Conjecture

1. Voici le tableau complété (on peut calculer rapidement les termes à la main, puis vérifier à la calculatrice) :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$u_n$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{32}$

2. Par exploration à la calculatrice, les termes de la suite semblent décroître, tout en restant strictement positifs, on a $u_{100}\approx 8\times 10^{-29}$, et $u_{1000}\approx 9\times 10^{-299}$.

On suppose que la suite converge vers $0$.

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

1. On a : $$w_0=u_1-\frac{1}{2}{u}_0=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 0=\boxed{\frac{1}{2}}.$$

2. On va établir la relation de récurrence de $(w_n)$. Soit $n$ un entier naturel.

$$w_{n+1}=u_{n+2}-\frac{1}{2}{u}_{n+1}\text{(deˊfinition de }w\text{ au rang }n+1)$$ $$=\left(u_{n+1}-\frac{1}{4}{u}_n\right)-\frac{1}{2}{u}_{n+1}\text{(relation de reˊcurrence de }u)$$ $$=\frac{1}{2}{u}_{n+1}-\frac{1}{4}{u}_n$$ $$=\frac{1}{2}\left(u_{n+1}-\frac{1}{2}{u}_n\right)$$ $$=\frac{1}{2}{w}_n\text{(deˊfinition de }w\text{ au rang }n).$$ Ainsi, on a : $w_{n+1}=\frac{1}{2}{w}_n$.

Cette relation de récurrence établit que $(w_n)$ est une suite géométrique, de raison $q=\frac{1}{2}$, et de premier terme $w_0=\frac{1}{2}$.

3. Puisque la suite est géométrique, on a la propriété classique : $$\forall n\in \mathbb{N},w_n=w_0\times q^n=\frac{1}{2}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}.$$

4. Soit $n$ un entier naturel. On reprend la définition de $(w_n)$ : $$w_n=u_{n+1}-\frac{1}{2}{u}_n⟺{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}=u_{n+1}-\frac{1}{2}{u}_n\text{(d’apreˋs l’expression explicite de }{w}_n)$$ $$⟺u_{n+1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}+\frac{1}{2}{u}_n.$$ On arrive bien à la relation de récurrence demandée.

5. Pour tout $n$ entier naturel, on pose $P_n$ l'affirmation : « $u_n=n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ ».

Initialisation : On a d'une part $u_0=0$, et d'autre part : $0\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^0=0\times 1=0$. L'affirmation est donc vraie au rang $0$.

Hérédité : Pour un entier naturel $n$ donné, on suppose que la propriété $P_n$ est vraie, c'est-à-dire : $u_n=n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

On a : $$u_{n+1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}+\frac{1}{2}{u}_n\text{(d’apreˋs la relation de reˊcurrence de la question B.4)}$$ $$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}+\frac{1}{2}\times n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\text{(par hypotheˋse de reˊcurrence)}$$ $$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}+n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}$$ $$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\times (1+n)$$ $$=(n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\text{c’est l’affirmation }{P}_{n+1}.$$

Conclusion : L'affirmation $P_0$ est vraie, et, pour tout entier naturel $n$, la véracité de l'affirmation $P_n$ est héréditaire, donc, par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in \mathbb{N},u_n=n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}.$$

Partie C : Étude de la suite $(u_n)$

1. Soit $n$ un entier naturel non nul, donc supérieur ou égal à $1$ : $$u_{n+1}-u_n=(n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}-n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\text{(d’apreˋs la question B.5.)}$$ $$=(n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}-n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\times 2$$ $$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\times ((n+1)-2n)$$ $$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\times (1-n).$$ La différence $u_{n+1}-u_n$ est donc égale au produit de deux nombres de signe contraire, car, pour $n$ entier naturel supérieur ou égal à $1$ :

• ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}$ est positif strictement ;
• $(1-n)$ est négatif ou nul.

La différence $u_{n+1}-u_n$ est donc négative ou nulle pour tout $n$ supérieur ou égal à $1$, on en déduit donc que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n=1$.

2. L'expression du terme général de la suite $(u_n)$ permet d'affirmer que la suite est minorée par $0$, car chaque terme est le produit de $n$, entier naturel, donc positif et de ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$, strictement positif, car $\frac{1}{2}$ est strictement positif.

De plus, la suite est décroissante, à partir du rang $n=1$.

La suite est donc décroissante (à partir du rang $n=1$) et minorée par $0$ : on en déduit qu'elle converge, vers une limite $\ell$ dont on sait que $\ell ⩾0$.

3. On admet que la limite de la suite $(u_n)$ est solution de l'équation : $\ell =\ell -\frac{1}{4}\ell$.

Résolvons cette équation : $$\ell =\ell -\frac{1}{4}\ell ⟺\ell -\frac{3}{4}\ell =0⟺\frac{1}{4}\ell =0⟺\ell =0\text{car }\frac{1}{4}\ne 0.$$ L'équation ayant une unique solution, la limite de la suite $(u_n)$, qui est $0$, est l'unique solution de l'équation.

Cela vient confirmer notre conjecture de la partie A. $\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0}$.