Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Température d'une réaction chimique : équation différentielle et intégration

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé, sous certaines conditions. Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l'évolution de la température au cours de cette réaction chimique en fonction du temps. L'objectif de cet exercice est d'étudier cette modélisation. La température est exprimée en degré Celsius et le temps est exprimé en minute. Dans tout l'exercice, on note $f$ la fonction qui modélise l'évolution de la température en fonction du temps $t$ . Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un repère orthogonal du plan, on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction température en fonction du temps $t \in [0; 10]$ . (figure : courbe de la température en °C en fonction de $t$ (en min), pour $t$ de $0$ à $10$ ; la courbe part de $40$ , atteint un maximum d'environ $62$ vers $t \approx 1, 3$ puis redescend)

1. Déterminer, par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale à l'instant $t = 0$ .

On admet que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0; 10]$ . On admet que la fonction $f$ peut s'écrire sous la forme $f (t) = (a t + b) e^{- 0, 5 t}$ où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles.

2. On admet que la valeur exacte de $f (0)$ est 40. En déduire la valeur de $b$ .

3. On admet que $f$ vérifie l'équation différentielle (E) : $y^{'} + 0, 5 y = 60 e^{- 0, 5 t}$ . Déterminer la valeur de $a$ .

Partie B : Étude de la fonction $f$

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0; 10]$ par $f (t) = (60 t + 40) e^{- 0, 5 t}$

1. Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0; 10]$ , on a : $f^{'} (t) = (40 - 30 t) e^{- 0, 5 t}$ .

2. a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 10]$ . Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les valeurs présentées dans le tableau.

b. Montrer que l'équation $f (t) = 40$ admet une unique solution $α$ strictement positive sur l'intervalle $[0; 10]$ .

c. Donner une valeur approchée de $α$ au dixième près et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

3. On définit la température moyenne, exprimée en degré Celsius, de cette réaction chimique entre deux temps $t_{1}$ et $t_{2}$ , exprimés en minute, par $\frac{1}{t _{2} - t _{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f (t) d t$

a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\int_{0}^{4} f (t) d t = 320 - \frac{800}{e ^{2}}$

b. En déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes.

Corrigé

Partie A

1. Par lecture graphique : la température initiale est $f (0) = 40$ , et on observe que la température redescend à cette valeur pour $t \approx 3, 8$ minutes.

2. $f (t) = (a t + b) e^{- 0, 5 t}$ donc $f (0) = (a \times 0 + b) e^{0} = b$ ; or $f (0) = 40$ donc $b = 40$ .

3. $f$ est dérivable sur $[0; 10]$ comme produit de fonctions dérivables. On pose $f = uv$ avec $u (t) = a t + b$ et $v (t) = e^{- 0, 5 t}$ , donc $f^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ avec $u^{'} (t) = a$ et $v^{'} (t) = - 0, 5 e^{- 0, 5 t}$ . Ainsi, pour tout $t \in [0; 10]$ : $f^{'} (t) = a e^{- 0, 5 t} + (a t + b) \times (- 0, 5) e^{- 0, 5 t} = a e^{- 0, 5 t} - 0, 5 (a t + 40) e^{- 0, 5 t}$ donc $f^{'} (t) + 0, 5 f (t) = a e^{- 0, 5 t} - 0, 5 (a t + 40) e^{- 0, 5 t} + 0, 5 (a t + 40) e^{- 0, 5 t} = a e^{- 0, 5 t} .$ Comme $f$ est solution de l'équation différentielle (E), $a e^{- 0, 5 t} = 60 e^{- 0, 5 t}$ donc $a = 60$ .

Partie B : Étude de la fonction $f$

1. Pour tout $t \in [0; 10]$ , $f^{'} (t) = (- 0, 5 a t + a - 0, 5 b) e^{- 0, 5 t}$ ; avec $a = 60$ et $b = 40$ on obtient $f^{'} (t) = (- 30 t + 60 - 20) e^{- 0, 5 t} = (40 - 30 t) e^{- 0, 5 t}$ .

2. a. Pour tout $t \in [0; 10]$ , $e^{- 0, 5 t} > 0$ donc $f^{'} (t)$ est du même signe que $40 - 30 t$ . $40 - 30 t ⩾ 0 ⟺ - 30 t ⩾ - 40 ⟺ t ⩽ \frac{4}{3}$ . On en déduit que $f$ est croissante sur $[0; \frac{4}{3}]$ et décroissante sur $[\frac{4}{3}; 10]$ . (tableau de variations de $f$ sur $[0; 10]$ : $f^{'} (t) > 0$ sur $[0; \frac{4}{3} [$ puis $f^{'} (t) < 0$ sur $] \frac{4}{3}; 10]$ ; $f (0) = 40$ , maximum $f (\frac{4}{3}) = 120 e^{- 2/3} \approx 61, 6$ , $f (10) = 640 e^{- 5} \approx 4, 31$ ) En effet $f (\frac{4}{3}) = (60 \times \frac{4}{3} + 40) e^{- 0, 5 \times \frac{4}{3}} = 120 e^{- 2/3} \approx 61, 6$ ; $f (0) = 40$ et $f (10) = 640 e^{- 5} \approx 4, 31$ .

b. Sur $[0; \frac{4}{3}]$ , $f (t) > 40$ donc l'équation $f (t) = 40$ n'a pas de solution sur cet intervalle. Sur $[\frac{4}{3}; 10]$ : d'après les valeurs approchées calculées à la question précédente, $f (\frac{4}{3}) \approx 61, 6$ et $f (10) \approx 4$ , donc $40 \in [f (10); f (\frac{4}{3})]$ . De plus $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur cet intervalle, donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f (t) = 40$ admet une unique solution $α$ dans $[\frac{4}{3}; 10]$ . Donc l'équation $f (t) = 40$ admet une unique solution $α$ strictement positive sur $[0; 10]$ .

c. À l'aide de la calculatrice on trouve $α \approx 3, 8$ . Interprétation : la température de la réaction chimique redescend à sa valeur initiale de $40$ °C environ $3, 8$ minutes après le début de la réaction.

3. a. $\int_{0}^{4} f (t) d t = \int_{0}^{4} (60 t + 40) e^{- 0, 5 t} d t$ . On pose $u (t) = 60 t + 40$ et $v^{'} (t) = e^{- 0, 5 t}$ , alors $u^{'} (t) = 60$ et $v (t) = - 2 e^{- 0, 5 t}$ . Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables et leurs dérivées $u^{'}$ et $v^{'}$ sont continues, donc d'après la formule d'intégration par parties : $\int_{0}^{4} (60 t + 40) e^{- 0, 5 t} d t = [(60 t + 40) \times (- 2 e^{- 0, 5 t})]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} 60 \times (- 2 e^{- 0, 5 t}) d t$ $= [(- 120 t - 80) e^{- 0, 5 t}]_{0}^{4} + 120 \int_{0}^{4} e^{- 0, 5 t} d t$ $= (- 120 \times 4 - 80) e^{- 2} + 80 + 120 [- 2 e^{- 0, 5 t}]_{0}^{4}$ $= - 560 e^{- 2} + 80 + 120 (- 2 e^{- 2} + 2) = - 560 e^{- 2} + 80 - 240 e^{- 2} + 240 = 320 - 800 e^{- 2} .$ Donc $\int_{0}^{4} f (t) d t = 320 - \frac{800}{e ^{2}}$ .

b. La température moyenne au cours des 4 premières minutes vaut : $\frac{1}{4} \int_{0}^{4} f (t) d t = \frac{1}{4} (320 - \frac{800}{e ^{2}}) = 80 - \frac{200}{e ^{2}} \approx 52, 9.$ Donc la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes est d'environ $53 °C$ .

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