Corrigé bac mathématiques 2025 — Exercice 4 : Vrai/Faux : intégration, dénombrement et géométrie dans l'espace

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2025 (épreuve de remplacement). Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par : $f (x) = x ln (x)$ .

Affirmation 1 : $\int_{1}^{e} f (x) d x = \frac{e ^{2} + 1}{4}$

2. Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels non nuls tels que $k ⩽ n$ .

Affirmation 2 : $n \times (k - 1 n - 1) = k \times (k n)$

3. Pour les trois affirmations suivantes, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ .

Soit $d$ la droite de représentation paramétrique : $⎩ ⎨ ⎧ x = t + 1 y = 2 t + 1 z = - t, t \in R .$

Soit $d^{'}$ la droite de représentation paramétrique : $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 t^{'} - 1 y = - t^{'} + 2 z = t^{'} + 1, t^{'} \in R .$

Soit $P$ le plan d'équation cartésienne : $2 x + y - 2 z + 18 = 0$ .

Soit A le point de coordonnées $(- 1; - 3; 2)$ et B le point de coordonnées $(- 5; - 5; 6)$ .

On appelle plan médiateur du segment $[A B]$ le plan passant par le milieu du segment $[A B]$ et orthogonal à la droite $(A B)$ .

Affirmation 3 : Le point A appartient à la droite $d$ .

Affirmation 4 : Les droites $d$ et $d^{'}$ sont sécantes.

Affirmation 5 : Le plan $P$ est le plan médiateur du segment $[A B]$ .

Corrigé

1. On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par : $f (x) = x ln (x)$ .

On calcule $\int_{1}^{e} f (x) d x = \int_{1}^{e} x ln (x) d x$ en faisant une intégration par parties. $\int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x .$ $⎩ ⎨ ⎧ u^{'} (x) = x v (x) = ln (x) ⟹ u (x) = \frac{x ^{2}}{2} ⟹ v^{'} (x) = \frac{1}{x}$ $\int_{1}^{e} x ln (x) d x = [\frac{x ^{2}}{2} \times ln (x)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x ^{2}}{2} \times \frac{1}{x} d x = [\frac{x ^{2}}{2} \times ln (x)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} d x$ $= [\frac{x ^{2}}{2} ln (x)]_{1}^{e} - [\frac{x ^{2}}{4}]_{1}^{e} = [\frac{x ^{2}}{2} ln (x) - \frac{x ^{2}}{4}]_{1}^{e} = (\frac{e ^{2}}{2} - \frac{e ^{2}}{4}) - (0 - \frac{1}{4})$ $= \frac{e ^{2}}{2} - \frac{e ^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e ^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e ^{2} + 1}{4}$ $Affirmation 1 vraie$

2. Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels non nuls tels que $k ⩽ n$ .

On va utiliser les propriétés : $\frac{1}{k !} = \frac{1}{( k - 1 )!} \times \frac{1}{k}$ et $n! = n \times (n - 1)!$ .

$(k n) = \frac{n !}{k ! \times ( n - k )!}$ donc : $k \times (k n) = k \times \frac{n !}{k ! \times ( n - k )!} = \frac{k \times n !}{k ! \times ( n - k )!} = \frac{n !}{( k - 1 )! \times ( n - k )!}$
$(k - 1 n - 1) = \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! \times (( n - 1 ) - ( k - 1 ))!} = \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! \times ( n - 1 - k + 1 )!} = \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! \times ( n - k )!}$ donc : $n \times (k - 1 n - 1) = n \times \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! \times ( n - k )!} = \frac{n \times ( n - 1 )!}{( k - 1 )! \times ( n - k )!} = \frac{n !}{( k - 1 )! \times ( n - k )!}$ Les deux expressions sont égales, donc $n \times (k - 1 n - 1) = k \times (k n)$ . $Affirmation 2 vraie$

3. Affirmation 3 : Le point A appartient à la droite $d$ .

$A \in d$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que : $⎩ ⎨ ⎧ - 1 = t + 1 - 3 = 2 t + 1 2 = - t$

Le réel $t = - 2$ vérifie les trois égalités donc le point A appartient à la droite $d$ . $Affirmation 3 vraie$

Affirmation 4 : Les droites $d$ et $d^{'}$ sont sécantes.

$d$ et $d^{'}$ sont sécantes s'il existe un couple $(t, t^{'})$ tel que : $⎩ ⎨ ⎧ t + 1 = 2 t^{'} - 1 2 t + 1 = - t^{'} + 2 - t = t^{'} + 1$ $⎩ ⎨ ⎧ t + 1 = 2 t^{'} - 1 2 t + 1 = - t^{'} + 2 - t = t^{'} + 1 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ t = 2 t^{'} - 2 2 (2 t^{'} - 2) + 1 = - t^{'} + 2 - (2 t^{'} - 2) = t^{'} + 1$ $⟺ ⎩ ⎨ ⎧ t = 2 t^{'} - 2 4 t^{'} - 4 + 1 = - t^{'} + 2 - 2 t^{'} + 2 = t^{'} + 1 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ t = 2 t^{'} - 2 5 t^{'} = 5 1 = 3 t^{'} ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ t = 2 t^{'} - 2 t^{'} = 1 \frac{1}{3} = t^{'}$ Le système n'a pas de solution donc les droites $d$ et $d^{'}$ ne sont pas sécantes. $Affirmation 4 fausse$

Affirmation 5 : Le plan $P$ est le plan médiateur du segment $[A B]$ .

Le plan médiateur du segment $[A B]$ est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x, y, z)$ tels que $M A = M B$ , ce qui équivaut à $M A^{2} = M B^{2}$ . $M A^{2} = (x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 2)^{2} = x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} + 6 y + 9 + z^{2} - 4 z + 4 = x^{2} + 2 x + y^{2} + 6 y + z^{2} - 4 z + 14$ $M B^{2} = (x + 5)^{2} + (y + 5)^{2} + (z - 6)^{2} = x^{2} + 10 x + 25 + y^{2} + 10 y + 25 + z^{2} - 12 z + 36 = x^{2} + 10 x + y^{2} + 10 y + z^{2} - 12 z + 86$ $M A^{2} = M B^{2} ⟺ x^{2} + 2 x + y^{2} + 6 y + z^{2} - 4 z + 14 = x^{2} + 10 x + y^{2} + 10 y + z^{2} - 12 z + 86$ $⟺ - 8 x - 4 y + 8 z - 72 = 0 ⟺ - 4 (2 x + y - 2 z + 18) = 0 ⟺ 2 x + y - 2 z + 18 = 0$ On retrouve l'équation du plan $P$ donc $P$ est le plan médiateur du segment $[A B]$ . $Affirmation 5 vraie$

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