Corrigé bac mathématiques 2026 — Exercice 1 : Géométrie dans l'espace : plan, droite orthogonale et distance

1. On calcule deux vecteurs construits à partir des points $A$, $B$ et $C$ :

$$\overrightarrow{AB}=(1;1;-4)$$ $$\overrightarrow{AC}=(0;1;-2)$$

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.

Ainsi, les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.

2. On vérifie que $\overrightarrow{n}=(4;4;2)$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan :

$$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=4\times 1+4\times 1+2\times (-4)=0$$ $$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AC}=4\times 0+4\times 1+2\times (-2)=0$$

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. C'est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.

3. Le plan $(ABC)$ admet pour vecteur normal $\overrightarrow{n}=(4;4;2)$. Une équation cartésienne est donc de la forme :

$$4x+4y+2z+d=0$$

Comme le point $A(1;0;3)$ appartient au plan, ses coordonnées vérifient l'équation :

$$4\times 1+4\times 0+2\times 3+d=0$$ $$\iff 10+d=0$$ $$\iff d=-10$$

On obtient donc :

$$4x+4y+2z-10=0$$

En divisant par $2$, une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est :

$$\boxed{2x+2y+z-5=0}$$

4. On remplace $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées de $H(0;2;1)$ dans l'équation du plan :

$$2\times 0+2\times 2+1-5=0$$

Le point $H$ vérifie l'équation du plan $(ABC)$. Donc $\boxed{H\text{ appartient au plan }(ABC)}$.

5. L'angle $\widehat{BAH}$ est l'angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$. On a :

$$\overrightarrow{AB}=(1;1;-4)$$ $$\overrightarrow{AH}=(-1;2;-2)$$

Calculons leur produit scalaire :

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}=1\times (-1)+1\times 2+(-4)\times (-2)=9$$

Puis leurs normes :

$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =\sqrt{1^2+1^2+(-4{)}^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$ $$\Vert \overrightarrow{AH}\Vert =\sqrt{(-1{)}^2+2^2+(-2{)}^2}=3$$

Donc :

$$\cos (\widehat{BAH})=\frac{9}{3\sqrt{2}\times 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

On reconnaît la valeur du cosinus de $45°$. La mesure de l'angle $\widehat{BAH}$ est donc égale à $\boxed{45°}$.

6. La droite $(d)$ est orthogonale au plan $(ABC)$, donc elle a pour vecteur directeur un vecteur normal au plan. On peut prendre le vecteur $(2;2;1)$, qui est colinéaire à $\overrightarrow{n}=(4;4;2)$.

Comme elle passe par $H(0;2;1)$, une représentation paramétrique de $(d)$ est :

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=2+2t\\ z=1+t\end{array}\text{avec }t\in \mathbb{R}}$$

7. Un point $S$ de la droite $(d)$ a pour coordonnées :

$$S(2t;2+2t;1+t)$$

Comme $H$ appartient au plan $(ABC)$ et que la droite $(d)$ est orthogonale à ce plan, la distance entre $S$ et le plan $(ABC)$ est simplement la distance $SH$.

Le vecteur directeur choisi est $(2;2;1)$, sa norme vaut :

$$\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3$$

Donc :

$$SH=3|t|$$

On veut que cette distance soit égale à $6$, donc :

$$3|t|=6\iff |t|=2$$

Ainsi, $t=2$ ou $t=-2$.

Or l'abscisse de $S$ vaut $x_S=2t$, et elle doit être positive. On choisit donc $t=2$.

Les coordonnées du point $S$ sont donc :

$$\boxed{S(4;6;3)}$$