Corrigé bac mathématiques 2026 — Exercice 1 : Géométrie dans l'espace : plan, droite orthogonale et distance

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF)

Énoncé

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ .

On considère :

les points de l'espace $A (1; 0; 3)$ , $B (2; 1; - 1)$ , $C (1; 1; 1)$ et $H (0; 2; 1)$ ;
le vecteur $n 442$ .

1. Démontrer que les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan de l'espace.

2. Démontrer que le vecteur $n$ est un vecteur normal au plan $(A B C)$ .

3. Déterminer une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

4. Vérifier que le point $H$ appartient au plan $(A B C)$ .

5. Déterminer la mesure en degré de l'angle $B A H$ .

6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(A B C)$ et passant par le point $H$ .

7. Déterminer les coordonnées du point $S (x_{S}; y_{S}; z_{S})$ de la droite $(d)$ tel que :

la distance entre le point $S$ et le plan $(A B C)$ est $6$ ;
son abscisse $x_{S}$ est positive.

Corrigé

1. On calcule deux vecteurs construits à partir des points $A$ , $B$ et $C$ :

$A B = (1; 1; - 4)$ $A C = (0; 1; - 2)$

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.

Ainsi, les points $A$ , $B$ et $C$ définissent bien un plan.

2. On vérifie que $n = (4; 4; 2)$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan :

$n \cdot A B = 4 \times 1 + 4 \times 1 + 2 \times (- 4) = 0$ $n \cdot A C = 4 \times 0 + 4 \times 1 + 2 \times (- 2) = 0$

Le vecteur $n$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(A B C)$ . C'est donc un vecteur normal au plan $(A B C)$ .

3. Le plan $(A B C)$ admet pour vecteur normal $n = (4; 4; 2)$ . Une équation cartésienne est donc de la forme :

$4 x + 4 y + 2 z + d = 0$

Comme le point $A (1; 0; 3)$ appartient au plan, ses coordonnées vérifient l'équation :

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