Corrigé bac mathématiques 2026 — Exercice 1 : Lames d'escrime : loi binomiale et Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

La fédération internationale d'escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité. Pour tester la conformité de l'acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu'à la rupture. La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.

Un équipementier d'escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames. Son stock est composé de $60 %$ de lames du fournisseur $A$ , de $12 %$ de lames du fournisseur $B$ , le reste venant du fournisseur $C$ .

Une étude qualité a montré que :

$90 %$ des lames du fournisseur $A$ étaient conformes ;
$95 %$ des lames du fournisseur $B$ étaient conformes ;
$85 %$ des lames du fournisseur $C$ étaient conformes.

Partie A

Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l'équipementier.

On considère les événements suivants :

$A$ : « La lame testée provient du fournisseur $A$ » ;
$B$ : « La lame testée provient du fournisseur $B$ » ;
$C$ : « La lame testée provient du fournisseur $C$ » ;
$T$ : « La lame testée est conforme ».

On note $T$ l'événement contraire de $T$ .

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.

2. Déterminer $P (A \cap T)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

3. Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de $0, 892$ .

4. Sachant que la lame testée n'est pas conforme, déterminer la probabilité qu'elle provienne du fournisseur $B$ . On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une lame de l'équipementier ne soit pas conforme est égale à $0, 108$ .

Lors d'une compétition d'escrime, l'équipementier apporte un échantillon de $75$ lames provenant de son stock. On considère qu'il les a choisies au hasard et de manière indépendante. De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que $6$ lames exactement soient non conformes dans cet échantillon. On arrondira le résultat au millième.

3. L'équipementier affirme que la probabilité qu'il y ait strictement plus de $8$ lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à $50 %$ . A-t-il raison ?

Partie C

Soit $n$ un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l'équipementier est présent.

Il apporte à chaque fois un échantillon de $75$ lames. Les variables aléatoires $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ , que l'on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon le nombre de lames non conformes.

On pose $M_{n} = \frac{X _{1} + X _{2} + \dots + X _{n}}{n}$ .

1. Déterminer l'espérance $E (M_{n})$ et la variance $V (M_{n})$ de la variable aléatoire $M_{n}$ .

2. Justifier l'inégalité suivante, pour tout entier naturel $n$ non nul : $P (∣ M_{n} - 8, 1∣ \geq 2) \leq \frac{1 , 8063}{n} .$

3. Déterminer une valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle $P (∣ M_{n} - 8, 1∣ < 2) \geq 0, 95$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

Partie A

1. On obtient l'arbre pondéré suivant : (figure : branches $A$ de probabilité $0, 6$ menant à $T$ ( $0, 9$ ) et $T$ ( $0, 1$ ) ; $B$ de probabilité $0, 12$ menant à $T$ ( $0, 95$ ) et $T$ ( $0, 05$ ) ; $C$ de probabilité $0, 28$ menant à $T$ ( $0, 85$ ) et $T$ ( $0, 15$ ).)

2. On cherche la probabilité que la lame provienne du fournisseur $A$ et qu'elle ne soit pas conforme : $P (A \cap T) = P (A) \times P_{A} (T) = 0, 6 \times 0, 1 = 0, 06$ Cela signifie que $6 %$ des lames vendues par l'équipementier proviennent du fournisseur $A$ et sont non conformes.

3. Les événements $A$ , $B$ et $C$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : $P (T) = P (A \cap T) + P (B \cap T) + P (C \cap T)$ $P (T) = 0, 6 \times 0, 9 + 0, 12 \times 0, 95 + 0, 28 \times 0, 85 = 0, 892$ La probabilité que la lame testée soit conforme est donc bien égale à $0, 892$ .

4. On cherche ici $P_{T} (B)$ : $P_{T} (B) = \frac{P ( B \cap T )}{P ( T )}$ Or $P (T) = 1 - P (T) = 1 - 0, 892 = 0, 108$ et $P (B \cap T) = P (B) \times P_{B} (T) = 0, 12 \times 0, 05 = 0, 006$ . Donc : $P_{T} (B) = \frac{0 , 006}{0 , 108} \approx 0, 056$ Sachant que la lame testée n'est pas conforme, la probabilité qu'elle provienne du fournisseur $B$ est d'environ $0, 056$ , soit $5, 6 %$ .

Partie B

1. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de lames non conformes dans un échantillon de $75$ lames. Chaque lame a une probabilité $0, 108$ d'être non conforme, et les choix sont assimilés à des tirages indépendants avec remise. Ainsi : $X \sim B (75; 0, 108)$

2. On calcule : $P (X = 6) = (6 75) \times 0, 10 8^{6} \times (1 - 0, 108)^{75 - 6} = (6 75) \times 0, 10 8^{6} \times 0, 89 2^{69} \approx 0, 120$ La probabilité que $6$ lames exactement soient non conformes est donc environ $0, 120$ , soit $12 %$ .

3. On cherche $P (X > 8)$ . À la calculatrice, avec $X \sim B (75; 0, 108)$ , on obtient : $P (X > 8) = 1 - P (X \leq 8) \approx 1 - 0, 578 \approx 0, 422$ Comme $0, 422 < 0, 50$ , l'équipementier a raison : la probabilité qu'il y ait strictement plus de $8$ lames non conformes est inférieure à $50 %$ .

Partie C

1. Chaque variable aléatoire $X_{i}$ suit la même loi que $X$ , donc $E (X_{i}) = 75 \times 0, 108 = 8, 1$ et $V (X_{i}) = 75 \times 0, 108 \times 0, 892 = 7, 2252$ . Par linéarité de l'espérance : $E (M_{n}) = \frac{E ( X _{1} ) + E ( X _{2} ) + \dots + E ( X _{n} )}{n} = \frac{n \times 8 , 1}{n} = 8, 1$ Comme les variables $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont indépendantes : $V (M_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} (V (X_{1}) + V (X_{2}) + \dots + V (X_{n})) = \frac{1}{n ^{2}} \times n \times 7, 2252 = \frac{7 , 2252}{n}$

2. On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P (∣ M_{n} - E (M_{n}) ∣ \geq 2) \leq \frac{V ( M _{n} )}{2 ^{2}}$ Comme $E (M_{n}) = 8, 1$ , on obtient : $P (∣ M_{n} - 8, 1∣ \geq 2) \leq \frac{\frac{7 , 2252}{n}}{4} = \frac{1 , 8063}{n}$

3. On veut $P (∣ M_{n} - 8, 1∣ < 2) \geq 0, 95$ . L'événement contraire de $∣ M_{n} - 8, 1∣ < 2$ est $∣ M_{n} - 8, 1∣ \geq 2$ , donc : $P (∣ M_{n} - 8, 1∣ < 2) = 1 - P (∣ M_{n} - 8, 1∣ \geq 2)$ Or d'après la question précédente, $P (∣ M_{n} - 8, 1∣ < 2) \geq 1 - \frac{1 , 8063}{n}$ . Il suffit donc de résoudre l'inéquation : $1 - \frac{1 , 8063}{n} \geq 0, 95$ $\Leftrightarrow \frac{1 , 8063}{n} \leq 0, 05$ $\Leftrightarrow n \geq \frac{1 , 8063}{0 , 05}$ $\Leftrightarrow n \geq 36, 126$ Comme $n$ est un entier, on peut prendre : $n = 37$ À partir de $37$ compétitions, la probabilité que le nombre moyen de lames non conformes par échantillon de $75$ lames soit compris entre $6, 1$ et $10, 1$ est au moins égale à $95 %$ .

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