Corrigé bac mathématiques 2026 — Exercice 2 : Probabilités : arbre pondéré, loi binomiale et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Parmi les habitants âgés d'au moins $15$ ans vivant en France, on compte :

$21 %$ de personnes de $15$ à $29$ ans ;
$46 %$ de personnes de $30$ à $59$ ans ;
$33 %$ de personnes d'au moins $60$ ans.

On s'intéresse à l'utilisation d'un réseau social par les habitants âgés d'au moins $15$ ans vivant en France. On a ainsi pu observer que :

$70 %$ des personnes de $15$ à $29$ ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
$46 %$ des personnes de $30$ à $59$ ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
$15 %$ des personnes d'au moins $60$ ans ont déjà publié sur ce réseau social.

On interroge une personne âgée d'au moins $15$ ans vivant en France et on lui demande si elle a déjà publié sur ce réseau social.

On note :

$J$ l'événement : « la personne interrogée a entre $15$ et $29$ ans » ;
$M$ l'événement : « la personne interrogée a entre $30$ et $59$ ans » ;
$S$ l'événement : « la personne interrogée a au moins $60$ ans » ;
$R$ l'événement : « la personne interrogée a déjà publié sur ce réseau social ».

On note $R$ l'événement contraire de l'événement $R$ .

Dans tout l'exercice, les valeurs approchées seront arrondies au millième.

Partie A

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité.

2. Déterminer $P (M \cap R)$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

3. On interroge au hasard une personne âgée d'au moins $15$ ans vivant en France.

a. Calculer la probabilité qu'elle ait déjà publié sur ce réseau social.

b. On sait que cette personne a déjà publié sur ce réseau social. Déterminer la probabilité qu'elle ait au moins $60$ ans.

Partie B

Au cours d'un sondage, on interroge successivement, au hasard et de manière indépendante, $100$ personnes âgées d'au moins $15$ ans et on leur demande si elles ont déjà publié sur ce réseau social. La population du pays est suffisamment grande pour qu'on assimile le choix des personnes sondées à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi ces $100$ personnes interrogées.

Dans cette partie, on admet que la probabilité qu'une personne âgée d'au moins $15$ ans vivant en France ait déjà publié sur ce réseau social est égale à $0, 41$ .

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'au moins la moitié des $100$ personnes interrogées ait déjà publié sur ce réseau social.

3. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

On effectue le sondage décrit dans la partie B dans $150$ villes françaises en respectant les mêmes conditions.

On note $X_{1}$ , $X_{2}$ , $\dots$ , $X_{150}$ les variables aléatoires donnant le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi les $100$ personnes interrogées dans chacune des $150$ villes.

On considère $Y$ la variable aléatoire définie par

$Y = \frac{X _{1} + X _{2} + \dots + X _{150}}{150} .$

Démontrer que la probabilité que la variable aléatoire $Y$ soit strictement comprise entre $37$ et $45$ est strictement supérieure à $98 %$ .

Corrigé

Partie A

1. On lit l'énoncé et on complète l'arbre pondéré suivant : (figure : arbre pondéré — branche $J$ de probabilité $0, 21$ puis $R$ : $0, 7$ et $R$ : $0, 3$ ; branche $M$ de probabilité $0, 46$ puis $R$ : $0, 46$ et $R$ : $0, 54$ ; branche $S$ de probabilité $0, 33$ puis $R$ : $0, 15$ et $R$ : $0, 85$ )

2. On a :

$P (M \cap R) = P (M) \times P_{M} (R) = 0, 46 \times 0, 46 = 0, 2116 \approx 0, 212$

Cela signifie qu'environ $21, 2 %$ des habitants âgés d'au moins $15$ ans vivant en France ont entre $30$ et $59$ ans et ont déjà publié sur ce réseau social.

3. a. D'après la formule des probabilités totales :

$P (R) = P (J \cap R) + P (M \cap R) + P (S \cap R)$ $= 0, 21 \times 0, 70 + 0, 46 \times 0, 46 + 0, 33 \times 0, 15$ $= 0, 147 + 0, 2116 + 0, 0495 = 0, 4081 \approx 0, 408$

La probabilité qu'une personne interrogée ait déjà publié sur ce réseau social est donc environ $0, 408$ .

3. b. On cherche une probabilité conditionnelle :

$P_{R} (S) = \frac{P ( S \cap R )}{P ( R )} = \frac{0 , 33 \times 0 , 15}{0 , 4081} = \frac{0 , 0495}{0 , 4081} \approx 0, 121$

Sachant que la personne a déjà publié sur ce réseau social, la probabilité qu'elle ait au moins $60$ ans est environ $0, 121$ .

Partie B

1. On répète $100$ fois, de manière indépendante, une expérience ayant deux issues : la personne a déjà publié sur le réseau social, ou non.

La probabilité de succès est $0, 41$ . Donc la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres :

$n = 100 et p = 0, 41$

On peut écrire :

$X \sim B (100; 0, 41)$

2. On cherche :

$P (X \geq 50)$

À la calculatrice, avec $X \sim B (100; 0, 41)$ , on obtient :

$P (X \geq 50) = 1 - P (X \leq 49) \approx 0, 043$

La probabilité qu'au moins la moitié des $100$ personnes interrogées ait déjà publié sur ce réseau social est donc environ $0, 043$ .

3. Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale $B (n; p)$ , l'espérance vaut :

$E (X) = n p$

Donc :

$E (X) = 100 \times 0, 41 = 41$

Sur un sondage de $100$ personnes âgées d'au moins $15$ ans vivant en France, on peut s'attendre en moyenne à ce que $41$ personnes aient déjà publié sur ce réseau social.

Partie C

Chaque variable aléatoire $X_{i}$ suit la loi binomiale $B (100; 0, 41)$ . Ainsi :

$E (X_{i}) = 100 \times 0, 41 = 41$

et :

$V (X_{i}) = 100 \times 0, 41 \times 0, 59 = 24, 19$

La variable aléatoire $Y$ est la moyenne des $150$ variables aléatoires $X_{1}$ , $X_{2}$ , $\dots$ , $X_{150}$ . Donc :

$E (Y) = 41$

Comme les sondages sont réalisés de manière indépendante :

$V (Y) = \frac{V ( X _{i} )}{150} = \frac{24 , 19}{150}$

On veut étudier :

$P (37 < Y < 45)$

Or :

$37 < Y < 45 \Leftrightarrow ∣ Y - 41∣ < 4$

On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

$P (∣ Y - E (Y) ∣ \geq 4) \leq \frac{V ( Y )}{4 ^{2}}$ $\Leftrightarrow P (∣ Y - 41∣ \geq 4) \leq \frac{\frac{24 , 19}{150}}{16}$ $\Leftrightarrow P (∣ Y - 41∣ \geq 4) \leq \frac{24 , 19}{2400}$

Ainsi :

$P (∣ Y - 41∣ < 4) \geq 1 - \frac{24 , 19}{2400} \approx 0, 9899$

En particulier :

$P (37 < Y < 45) > 0, 98$

La probabilité que $Y$ soit strictement comprise entre $37$ et $45$ est donc bien strictement supérieure à $98 %$ .

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