Corrigé bac mathématiques 2026 — Exercice 2 : Vrai/Faux : équation différentielle, fonctions et suites

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Travailler ce sujet sur Adloun Sujet officiel (PDF) Corrigé complet (PDF)

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère l'équation différentielle suivante où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $R$ . $(E) : y^{'} + y = 2 cos (x) .$ Affirmation 1 : La fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 4 e^{- x} + cos (x) + sin (x)$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ .

2. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $R$ par $f (x) = 2 x$ et $g (x) = sin (x)$ . On note $C_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère et $C_{g}$ celle de la fonction $g$ . Affirmation 2 : Les courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ ont un seul point d'intersection.

3. On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n} = \frac{2 n + sin ( n )}{n + 1} .$ Affirmation 3 : La suite $(v_{n})$ diverge.

4. On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{1} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ : $u_{n + 1} = u_{n} + 2 n + 1.$ Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ on a $u_{n} = n^{2}$ .

5. On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $u_{n} = e^{- n}$ . On pose, pour tout entier naturel $n$ , $S_{n} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}$ . Affirmation 5 : $n \to + \infty lim S_{n} = \frac{e}{e - 1}$ .

Corrigé

1. L'affirmation 1 est vraie. On dérive la fonction $f$ : $f^{'} (x) = - 4 e^{- x} - sin (x) + cos (x)$ Donc : $f^{'} (x) + f (x) = (- 4 e^{- x} - sin (x) + cos (x)) + (4 e^{- x} + cos (x) + sin (x))$ Les termes en $e^{- x}$ et en $sin (x)$ s'annulent, d'où : $f^{'} (x) + f (x) = 2 cos (x)$ Ainsi, la fonction $f$ est bien solution de l'équation différentielle $(E)$ .

2. L'affirmation 2 est vraie. Les points d'intersection des deux courbes ont pour abscisses les solutions de l'équation : $2 x = sin (x)$ On sait que, pour tout réel $x$ : $- 1 \leq sin (x) \leq 1$ . Si $x > \frac{1}{2}$ , alors $2 x > 1$ , donc l'égalité $2 x = sin (x)$ est impossible. Si $x < - \frac{1}{2}$ , alors $2 x < - 1$ , donc l'égalité est également impossible. Il suffit donc d'étudier l'équation sur l'intervalle $[- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ . On pose : $h (x) = 2 x - sin (x)$ Alors : $h^{'} (x) = 2 - cos (x)$ Comme $cos (x) \leq 1$ , on a $h^{'} (x) \geq 1$ . La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $[- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ . De plus : $h (0) = 0$ . L'équation $h (x) = 0$ , c'est-à-dire $2 x = sin (x)$ , admet donc une unique solution : $x = 0$ . Les deux courbes ont donc un seul point d'intersection.

3. L'affirmation 3 est fausse. On sépare les deux termes : $v_{n} = \frac{2 n + sin ( n )}{n + 1} = \frac{2 n}{n + 1} + \frac{sin ( n )}{n + 1} = \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} + \frac{sin ( n )}{n + 1}$ Or : $n \to + \infty lim \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} = 2$ De plus, comme $- 1 \leq sin (n) \leq 1$ , on a : $- \frac{1}{n + 1} \leq \frac{sin ( n )}{n + 1} \leq \frac{1}{n + 1}$ Donc, d'après le théorème des gendarmes : $n \to + \infty lim \frac{sin ( n )}{n + 1} = 0$ Ainsi : $n \to + \infty lim v_{n} = 2 + 0 = 2$ La suite $(v_{n})$ converge vers $2$ . Elle ne diverge donc pas.

4. L'affirmation 4 est vraie. On démontre cette formule par récurrence. Initialisation : Pour $n = 1$ , on a $u_{1} = 1$ et $1^{2} = 1$ . La formule est donc vraie au rang $1$ . Hérédité : Supposons que, pour un certain entier $n \geq 1$ , on ait $u_{n} = n^{2}$ . Alors : $u_{n + 1} = u_{n} + 2 n + 1$ Donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence : $u_{n + 1} = n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2}$ La propriété est donc vraie au rang $n + 1$ . Conclusion : Par récurrence, pour tout entier naturel $n \geq 1$ , on a $u_{n} = n^{2}$ .

5. L'affirmation 5 est vraie. La suite $(u_{n})$ est géométrique de premier terme $u_{0} = 1$ et de raison $q = e^{- 1}$ . Ainsi : $S_{n} = 1 + e^{- 1} + e^{- 2} + \dots + e^{- n} = \frac{1 - ( e ^{- 1} ) ^{n + 1}}{1 - e ^{- 1}}$ Par ailleurs, comme : $n \to + \infty lim (e^{- 1})^{n + 1} = 0$ on obtient : $n \to + \infty lim S_{n} = \frac{1}{1 - e ^{- 1}}$ Or : $\frac{1}{1 - e ^{- 1}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{e}{e - 1}$ Donc : $n \to + \infty lim S_{n} = \frac{e}{e - 1}$

Poser une question au tuteur sur ce sujet