Corrigé bac mathématiques 2026 — Exercice 3 : Fonction logarithme, suite récurrente et algorithme Python

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Partie A

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[2; + \infty [$ par $f (x) = ln (3 x^{2} + 2 x)$ .

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[2; + \infty [$ et on note $f^{'}$ sa fonction dérivée.

1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2; + \infty [$ .

2. On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[2; + \infty [$ par $g (x) = f (x) - x$ . On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2; + \infty [$ et que $x \to + \infty lim g (x) = - \infty$ .

a. Démontrer que l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur l'intervalle $[2; + \infty [$ .

b. Donner la valeur de $α$ arrondie au centième.

c. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $[2; + \infty [$ .

Partie B

Dans cette partie, les réponses pourront s'appuyer sur les résultats de la partie A.

On définit une suite $(a_{n})$ par son premier terme $a_{0} > 0$ et pour tout entier naturel $n$ ,

$a_{n + 1} = ln (3 a_{n}^{2} + 2 a_{n}) .$

On étudie le cas où $2 \leq a_{0} \leq α$ , où $α$ est l'unique solution de l'équation $g (x) = 0$ .

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $2 \leq a_{n} \leq α$ .

2. Démontrer que la suite $(a_{n})$ est croissante.

3. Démontrer que la suite $(a_{n})$ converge.

4. Démontrer que la limite de la suite $(a_{n})$ est $α$ .

Partie C

Dans cette partie, on prend $a_{0} = 2$ . La suite $(a_{n})$ est ainsi définie par $a_{0} = 2$ et pour tout entier naturel $n$ , $a_{n + 1} = ln (3 a_{n}^{2} + 2 a_{n})$ .

On note $(b_{n})$ la suite définie par $b_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$ , $b_{n + 1} = ln (3 b_{n}^{2} + 2 b_{n})$ . On admet que la suite $(b_{n})$ est strictement décroissante et qu'elle converge vers $α$ .

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $a_{n} \leq b_{n}$ .

2. On considère le script ci-dessous écrit en langage Python.

(figure : script Python)

from math import *
def algo(p) :
    a = 2
    b = 10
    n = 0
    while b - a > 10**(-p) :
        a = log(3*a**2 + 2*a)
        b = log(3*b**2 + 2*b)
        n = n + 1
    return (n,a)

On rappelle qu'en langage Python :

la commande log(c) renvoie la valeur de $ln (c)$ ;
la commande a**2 renvoie la valeur de $a^{2}$ .

a. Donner les valeurs renvoyées par l'instruction algo(2). On arrondira si besoin les valeurs au millième.

b. Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l'exercice.

Corrigé

Partie A

1. La fonction $f$ est dérivable sur $[2; + \infty [$ .

Pour tout $x \geq 2$ , on a :

$f^{'} (x) = \frac{6 x + 2}{3 x ^{2} + 2 x}$

Sur $[2; + \infty [$ , le numérateur $6 x + 2$ est strictement positif et le dénominateur $3 x^{2} + 2 x$ est strictement positif.

Donc :

$f^{'} (x) > 0$

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[2; + \infty [$ .

2. a. Calculons $g (2)$ :

$g (2) = ln (3 \times 2^{2} + 2 \times 2) - 2 = ln (16) - 2$

Or $ln (16) \approx 2, 77$ , donc :

$g (2) > 0$

Comme :

$g$ est continue sur $[2; + \infty [$
strictement décroissante, avec $g (2) > 0$
une limite égale à $- \infty$ en $+ \infty$

Alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution sur $[2; + \infty [$ .

On note cette solution $α$ .

2. b. À la calculatrice, on obtient :

$α \approx 4, 05$

2. c. Comme $g$ est strictement décroissante et s'annule une seule fois en $α$ , on obtient : (figure : tableau de signes — $g (x)$ strictement positive sur $[2; α [$ , nulle en $α$ , strictement négative sur $] α; + \infty [$ )

$x$	$2$		$α$		$+ \infty$
$g (x)$		$+$	$0$	$-$

Partie B

1. On veut montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a :

$2 \leq a_{n} \leq α$

On raisonne par récurrence.

Initialisation : L'hypothèse est vraie pour $n = 0$ , car :

$2 \leq a_{0} \leq α$

Hérédité : Supposons que, pour un certain entier naturel $n$ , on ait :

$2 \leq a_{n} \leq α$

Comme $f$ est strictement croissante sur $[2; + \infty [$ , on peut appliquer $f$ aux trois membres :

$f (2) \leq f (a_{n}) \leq f (α)$

Or :

$f (a_{n}) = a_{n + 1}$

De plus, $α$ est solution de $g (x) = 0$ , donc :

$g (α) = 0 \Leftrightarrow f (α) = α$

Enfin :

$f (2) = ln (16) \approx 2, 77 > 2$

Donc :

$2 \leq f (2) \leq a_{n + 1} \leq α$

Et donc :

$2 \leq a_{n + 1} \leq α$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire. Par récurrence, pour tout entier naturel $n$ :

$2 \leq a_{n} \leq α$

2. Pour tout entier naturel $n$ , on a :

$a_{n + 1} - a_{n} = f (a_{n}) - a_{n} = g (a_{n})$

D'après la question précédente, $a_{n} \in [2; α]$ . Sur cet intervalle, on a :

$g (a_{n}) \geq 0$

Donc :

$a_{n + 1} - a_{n} \geq 0$

La suite $(a_{n})$ est donc croissante.

3. La suite $(a_{n})$ est croissante et majorée par $α$ . Donc elle converge.

4. On note $ℓ$ la limite de la suite $(a_{n})$ .

Comme, pour tout entier naturel $n$ , on a $2 \leq a_{n} \leq α$ , par passage à la limite :

$2 \leq ℓ \leq α$

La relation de récurrence est :

$a_{n + 1} = f (a_{n})$

Comme $f$ est continue sur $[2; + \infty [$ , on peut passer à la limite :

$ℓ = f (ℓ)$ $\Leftrightarrow f (ℓ) - ℓ = 0$ $\Leftrightarrow g (ℓ) = 0$

Or l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution sur $[2; + \infty [$ , qui est $α$ . Donc :

$ℓ = α$

La suite $(a_{n})$ converge donc vers $α$ .

Partie C

1. D'après la partie B, avec $a_{0} = 2$ , on sait que pour tout entier naturel $n$ :

$a_{n} \leq α$

On admet que la suite $(b_{n})$ est strictement décroissante et qu'elle converge vers $α$ . Comme $b_{0} = 10$ et que la suite décroît vers $α$ , tous ses termes restent supérieurs ou égaux à $α$ . Donc :

$α \leq b_{n}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$ :

$a_{n} \leq α \leq b_{n}$

On en déduit :

$a_{n} \leq b_{n}$

2. a. En exécutant l'algorithme pour $p = 2$ , la boucle s'arrête lorsque :

$b - a \leq 1 0^{- 2}$

À la calculatrice ou avec Python, l'instruction algo(2) renvoie :

$(9; 4, 044)$

2. b. L'algorithme calcule simultanément les termes des suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ , avec $a_{n} \leq α \leq b_{n}$ .

Pour $p = 2$ , il s'arrête au rang $9$ , car l'écart entre $b_{9}$ et $a_{9}$ est inférieur ou égal à $1 0^{- 2}$ .

La valeur renvoyée $a_{9} \approx 4, 044$ donne donc une approximation de $α$ . Comme $α$ est compris entre $a_{9}$ et $b_{9}$ , et que l'écart entre ces deux valeurs est inférieur à $0, 01$ , cette approximation est précise à $1 0^{- 2}$ près.

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