Corrigé bac mathématiques 2026 — Exercice 4 : Équation différentielle, fonction exponentielle, intégration par parties et tangentes

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ et $C_{3}$ .

Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur $R$ : une fonction $f$ , sa dérivée $f^{'}$ et sa dérivée seconde $f^{''}$ . (figure : trois courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ dans un repère)

Associer chacune des fonctions $f$ , $f^{'}$ et $f^{''}$ à sa courbe représentative. Aucune justification n'est attendue.

Partie B

On considère l'équation différentielle $(E)$ définie par $y^{'} + y = (2 x - 3) e^{- x}$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ .

1. On considère la fonction $g$ définie sur $R$ par $g (x) = (x^{2} - 3 x) e^{- x}$ . Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ .

2. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y^{'} + y = 0$ .

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ .

4. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f (0) = 2$ .

Partie C

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = e^{- x} (x^{2} - 3 x + 2)$ et on note $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Étudier le signe de la fonction $f$ sur $R$ .

2. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ .

b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .

3. On note $I$ l'intégrale définie par :

$I = \int_{0}^{1} f (x) d x$

a. À l'aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que $I = 1 - \frac{1}{e}$ .

b. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie D

On considère un réel $a$ .

On note $(T_{a})$ la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ .

1. Démontrer que le point d'intersection de la tangente $(T_{a})$ et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée $(a^{3} - 4 a^{2} + 2 a + 2) e^{- a}$ .

2. Déterminer le nombre de tangentes à la courbe $C_{f}$ passant par l'origine du repère. Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.

Corrigé

Partie A

On associe les courbes de la manière suivante :

$f \leftrightarrow C_{1}$ $f^{'} \leftrightarrow C_{3}$ $f^{''} \leftrightarrow C_{2}$

Partie B

1. On dérive $g$ comme un produit de fonctions dérivables :

$g^{'} (x) = (2 x - 3) e^{- x} - (x^{2} - 3 x) e^{- x} = (- x^{2} + 5 x - 3) e^{- x}$

Alors :

$g^{'} (x) + g (x) = (- x^{2} + 5 x - 3) e^{- x} + (x^{2} - 3 x) e^{- x} = (2 x - 3) e^{- x}$

Donc $g$ est bien une solution particulière de l'équation différentielle.

2. L'équation différentielle homogène est :

$y^{'} + y = 0$

Ses solutions sont les fonctions définies sur $R$ par :

$y (x) = C e^{- x}$

où $C$ est une constante réelle.

3. Les solutions de l'équation différentielle sont obtenues en ajoutant à une solution particulière les solutions de l'équation homogène.

Ainsi, les solutions sont les fonctions définies sur $R$ par :

$y (x) = (x^{2} - 3 x) e^{- x} + C e^{- x}$

c'est-à-dire :

$y (x) = (x^{2} - 3 x + C) e^{- x} o u ˋ C \in R$

4. On cherche la solution telle que :

$f (0) = 2$

D'après la question précédente :

$f (x) = (x^{2} - 3 x + C) e^{- x}$

Donc :

$f (0) = C$ $\Leftrightarrow C = 2$

La solution cherchée est donc :

$f (x) = (x^{2} - 3 x + 2) e^{- x}$

Partie C

1. Pour tout réel $x$ , on a :

$f (x) = e^{- x} (x^{2} - 3 x + 2)$

Or :

$e^{- x} > 0$

Le signe de $f (x)$ est donc celui du trinôme :

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$

Le coefficient principal de ce trinôme est $1 > 0$ et les racines sont $1$ et $2$ . Ainsi, on obtient :

$f (x) > 0 sur] - \infty; 1 [et] 2; + \infty [$ $f (x) = 0 pour x = 1 et x = 2$ $f (x) < 0 sur] 1; 2 [$

2. a. Lorsque $x \to - \infty$ , on a :

$e^{- x} \to + \infty et x^{2} - 3 x + 2 \to + \infty$

Donc :

$x \to - \infty lim f (x) = + \infty$

2. b. Lorsque $x \to + \infty$ , l'exponentielle $e^{- x}$ tend vers $0$ plus vite que le polynôme $x^{2} - 3 x + 2$ ne tend vers $+ \infty$ (croissance comparée).

Donc :

$x \to + \infty lim f (x) = 0$

3. a. On a :

$I = \int_{0}^{1} e^{- x} (x^{2} - 3 x + 2) d x$

On pose :

$u (x) = x^{2} - 3 x + 2 v^{'} (x) = e^{- x}$ $u^{'} (x) = 2 x - 3 v (x) = - e^{- x}$

Par intégration par parties :

$I = [- (x^{2} - 3 x + 2) e^{- x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (2 x - 3) e^{- x} d x = 2 + \int_{0}^{1} (2 x - 3) e^{- x} d x$

On effectue une deuxième intégration par parties pour l'intégrale restante. On pose :

$u (x) = 2 x - 3 v^{'} (x) = e^{- x}$ $u^{'} (x) = 2 v (x) = - e^{- x}$

Ainsi :

$\int_{0}^{1} (2 x - 3) e^{- x} d x = [- (2 x - 3) e^{- x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 e^{- x} d x$ $= e^{- 1} - 3 + [- 2 e^{- x}]_{0}^{1} = e^{- 1} - 3 - 2 e^{- 1} + 2 = - 1 - e^{- 1} = - 1 - \frac{1}{e}$

Finalement :

$I = 2 - 1 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{1}{e}$

Donc :

$I = 1 - \frac{1}{e}$

3. b. Sur l'intervalle $[0; 1]$ , la fonction $f$ est positive. L'intégrale $I$ représente donc l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ .

Cette aire vaut :

$1 - \frac{1}{e}$

Partie D

1. La tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

Son point d'intersection avec l'axe des ordonnées correspond à $x = 0$ . Son ordonnée est donc :

$f (a) - a f^{'} (a)$

On calcule d'abord $f^{'} (x)$ . Comme :

$f (x) = (x^{2} - 3 x + 2) e^{- x}$

on obtient :

$f^{'} (x) = (2 x - 3) e^{- x} - (x^{2} - 3 x + 2) e^{- x} = (- x^{2} + 5 x - 5) e^{- x}$

Ainsi :

$f (a) - a f^{'} (a) = (a^{2} - 3 a + 2) e^{- a} - a (- a^{2} + 5 a - 5) e^{- a}$ $= (a^{3} - 4 a^{2} + 2 a + 2) e^{- a}$

Le point d'intersection de la tangente $(T_{a})$ et de l'axe des ordonnées a donc bien pour ordonnée :

$(a^{3} - 4 a^{2} + 2 a + 2) e^{- a}$

2. Une tangente $(T_{a})$ passe par l'origine si et seulement si son point d'intersection avec l'axe des ordonnées a pour ordonnée $0$ .

On cherche donc les réels $a$ tels que :

$(a^{3} - 4 a^{2} + 2 a + 2) e^{- a} = 0$

Or, pour tout réel $a$ :

$e^{- a} > 0$

On doit donc résoudre :

$a^{3} - 4 a^{2} + 2 a + 2 = 0$

On pose :

$h (a) = a^{3} - 4 a^{2} + 2 a + 2$

On dérive :

$h^{'} (a) = 3 a^{2} - 8 a + 2$

Les racines de $h^{'}$ sont :

$a_{1} = \frac{4 - 10}{3} \approx 0, 28$ $a_{2} = \frac{4 + 10}{3} \approx 2, 39$

Le coefficient principal de $h^{'}$ est $3 > 0$ .

Donc $h$ est strictement croissante sur $] - \infty; a_{1}]$ , strictement décroissante sur $[a_{1}; a_{2}]$ , puis strictement croissante sur $[a_{2}; + \infty [$ .

On calcule :

$h (- 1) = - 5 et h (0) = 2$

La fonction $h$ est continue sur $[- 1; 0]$ . Comme $h (- 1)$ et $h (0)$ sont de signes contraires, le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'une solution dans $] - 1; 0 [$ . De plus, $h$ est strictement croissante sur cet intervalle, donc cette solution est unique.

De même :

$h (1) = 1 et h (2) = - 2$

La fonction $h$ est continue sur $[1; 2]$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution dans $] 1; 2 [$ . Comme $h$ est strictement décroissante sur cet intervalle, cette solution est unique.

Enfin :

$h (3) = - 1 et h (4) = 10$

La fonction $h$ est continue sur $[3; 4]$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution dans $] 3; 4 [$ . Comme $h$ est strictement croissante sur cet intervalle, cette solution est unique.

Les variations de $h$ montrent qu'il ne peut pas y avoir d'autre solution.

Il existe donc exactement trois valeurs de $a$ pour lesquelles la tangente $(T_{a})$ passe par l'origine.

Ainsi, il existe exactement $trois tangentes$ à la courbe $C_{f}$ passant par l'origine.

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