Corrigé bac mathématiques 2026 — Exercice 4 : Équation différentielle, fonction exponentielle, intégration par parties et tangentes

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ et $C_{3}$ .

Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur $R$ : une fonction $f$ , sa dérivée $f^{'}$ et sa dérivée seconde $f^{''}$ . (figure : trois courbes $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ dans un repère)

Associer chacune des fonctions $f$ , $f^{'}$ et $f^{''}$ à sa courbe représentative. Aucune justification n'est attendue.

Partie B

On considère l'équation différentielle $(E)$ définie par $y^{'} + y = (2 x - 3) e^{- x}$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ .

1. On considère la fonction $g$ définie sur $R$ par $g (x) = (x^{2} - 3 x) e^{- x}$ . Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ .

2. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y^{'} + y = 0$ .

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ .

4. Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f (0) = 2$ .

Partie C

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = e^{- x} (x^{2} - 3 x + 2)$ et on note $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Étudier le signe de la fonction $f$ sur $R$ .

2. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ .

b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ .

3. On note $I$ l'intégrale définie par :

$I = \int_{0}^{1} f (x) d x$

a. À l'aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que $I = 1 - \frac{1}{e}$ .

b. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie D

On considère un réel $a$ .

On note $(T_{a})$ la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ .

1. Démontrer que le point d'intersection de la tangente $(T_{a})$ et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée $(a^{3} - 4 a^{2} + 2 a + 2) e^{- a}$ .

2. Déterminer le nombre de tangentes à la courbe $C_{f}$ passant par l'origine du repère. Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.

Corrigé

Partie A

On associe les courbes de la manière suivante :

$f \leftrightarrow C_{1}$ $f^{'} \leftrightarrow C_{3}$ $f^{''} \leftrightarrow C_{2}$

Partie B

1. On dérive $g$ comme un produit de fonctions dérivables :

$g^{'} (x) = (2 x - 3) e^{- x} - (x^{2} - 3 x) e^{- x} = (- x^{2} + 5 x - 3) e^{- x}$

Alors :

$g^{'} (x) + g (x) = (- x^{2} + 5 x - 3) e^{- x} + (x^{2} - 3 x) e^{- x} = (2 x - 3) e^{- x}$

Donc $g$ est bien une solution particulière de l'équation différentielle.

2. L'équation différentielle homogène est :

$y^{'} + y = 0$

Ses solutions sont les fonctions définies sur $R$ par :

$y (x) = C e^{- x}$

où $C$ est une constante réelle.

3. Les solutions de l'équation différentielle sont obtenues en ajoutant à une solution particulière les solutions de l'équation homogène.

Ainsi, les solutions sont les fonctions définies sur $R$ par :

$y (x) = (x^{2} - 3 x) e^{- x} + C e^{- x}$

c'est-à-dire :

$y (x) = (x^{2} - 3 x + C) e^{- x} o u ˋ C \in R$

4. On cherche la solution telle que :

$f (0) = 2$

D'après la question précédente :

$f (x) = (x^{2} - 3 x + C) e^{- x}$

Donc :

$f (0) = C$ $\Leftrightarrow C = 2$

La solution cherchée est donc :

$f (x) = (x^{2} - 3 x + 2) e^{- x}$

Partie C

1. Pour tout réel $x$ , on a :

$f (x) = e^{- x} (x^{2} - 3 x + 2)$

Or :

$e^{- x} > 0$

Le signe de $f (x)$ est donc celui du trinôme :

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$

Le coefficient principal de ce trinôme est $1 > 0$ et les racines sont $1$ et $2$ . Ainsi, on obtient :

$f (x) > 0 sur] - \infty; 1 [et] 2; + \infty [$ $f (x) = 0 pour x = 1 et x = 2$ $f (x) < 0 sur] 1; 2 [$

2. a. Lorsque $x \to - \infty$ , on a :

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