Corrigé bac mathématiques 2026 — Exercice 4 : Étude de x → ln(x)/x² et suite d'intégrales

Sujet officiel du baccalauréat, spécialité mathématiques, session 2026. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

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Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{ln ( x )}{x ^{2}}$ . On note $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ . On note $f^{'}$ sa fonction dérivée et $f^{''}$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A

1. a. Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle $] 0; + \infty [$ . 1. b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. Pour tout réel strictement positif $x$ , démontrer que $f^{'} (x) = \frac{1 - 2 ln ( x )}{x ^{3}}$ .

3. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.

4. Déterminer l'équation réduite de la droite $Δ$ , tangente à la courbe $C_{f}$ au point $A$ d'abscisse $1$ .

5. Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$ , on a $f^{''} (x) = \frac{- 5 + 6 ln ( x )}{x ^{4}}$ .

6. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ en précisant les coordonnées des éventuels points d'inflexion. 6. b. En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à $] 0; e^{\frac{5}{6}}]$ , on a $x - 1 \geq \frac{ln ( x )}{x ^{2}}$ .

7. Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $[e^{\frac{5}{6}}; + \infty [$ , on a aussi $x - 1 \geq \frac{ln ( x )}{x ^{2}}$ .

Partie B

On considère la suite $(I_{n})$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$ , par : $I_{n} = \int_{1}^{n} \frac{ln ( x )}{x ^{2}} d x .$

1. Donner une interprétation graphique de $I_{n}$ pour $n$ un entier naturel non nul.

2. Démontrer que la suite $(I_{n})$ est croissante.

3. On souhaite calculer une approximation de $\int_{1}^{10} f (x) d x$ en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous. (figure : courbe $C_{f}$ et rectangles d'approximation sous la courbe entre $x = 1$ et $x = 10$ .) Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python.

from math import *
S=1/(2*exp(1))
for i in range (2,10):
    S = ...
print(S)

Recopier et compléter ce script afin qu'il réponde au problème posé.

4. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ , $I_{n} = \frac{n - 1 - ln ( n )}{n} .$

5. Calculer la limite de la suite $(I_{n})$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

Corrigé

Partie A

1. a. On étudie les limites de $f (x) = \frac{ln ( x )}{x ^{2}}$ . Quand $x$ tend vers $0$ , on a : $ln (x) \to - \infty$ et $x^{2} \to 0^{+}$ . Donc : $x \to 0^{+} lim f (x) = - \infty$ Quand $x$ tend vers $+ \infty$ , la puissance $x^{2}$ l'emporte sur $ln (x)$ , donc : $x \to + \infty lim \frac{ln ( x )}{x ^{2}} = 0$ Ainsi : $x \to + \infty lim f (x) = 0$

1. b. Comme $x \to 0^{+} lim f (x) = - \infty$ , la droite d'équation $x = 0$ , c'est-à-dire l'axe des ordonnées, est asymptote verticale à la courbe $C_{f}$ . Comme $x \to + \infty lim f (x) = 0$ , la droite d'équation $y = 0$ , c'est-à-dire l'axe des abscisses, est asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ en $+ \infty$ .

2. Pour tout réel $x > 0$ , on écrit : $f (x) = ln (x) \times x^{- 2}$ Donc : $f^{'} (x) = \frac{1}{x} \times x^{- 2} + ln (x) \times (- 2 x^{- 3}) = \frac{1}{x ^{3}} - \frac{2 ln ( x )}{x ^{3}}$ Ainsi : $f^{'} (x) = \frac{1 - 2 ln ( x )}{x ^{3}}$

3. Pour tout $x > 0$ , on a $x^{3} > 0$ . Le signe de $f^{'} (x)$ est donc celui de $1 - 2 ln (x)$ . $1 - 2 ln (x) = 0 \Leftrightarrow ln (x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{\frac{1}{2}} = e$ On en déduit que $f^{'} (x) > 0$ sur $] 0; e [$ , puis $f^{'} (x) < 0$ sur $] e; + \infty [$ . La fonction $f$ est donc croissante sur $] 0; e]$ , puis décroissante sur $[e; + \infty [$ . De plus : $f (e) = \frac{ln ( e )}{( e ) ^{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{e} = \frac{1}{2 e}$ On obtient donc le tableau de variation suivant : (figure : tableau de variation de $f$ sur $] 0; + \infty [$ ; $f^{'}$ positive puis nulle en $e$ puis négative ; $f$ croît de $- \infty$ jusqu'au maximum $\frac{1}{2 e}$ en $e$ puis décroît vers $0$ .) La fonction $f$ admet donc un maximum égal à $\frac{1}{2 e}$ , atteint en $x = e$ .

4. On cherche la tangente à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ : $f (1) = \frac{ln ( 1 )}{1 ^{2}} = 0 et f^{'} (1) = \frac{1 - 2 ln ( 1 )}{1 ^{3}} = 1$ L'équation de la tangente est donc : $y = f^{'} (1) (x - 1) + f (1) \Leftrightarrow y = x - 1$

5. Pour tout $x > 0$ , on part de : $f^{'} (x) = \frac{1 - 2 ln ( x )}{x ^{3}} = (1 - 2 ln (x)) x^{- 3}$ Alors : $f^{''} (x) = - \frac{2}{x} x^{- 3} + (1 - 2 ln (x)) (- 3 x^{- 4}) = \frac{- 2}{x ^{4}} + \frac{- 3 + 6 ln ( x )}{x ^{4}}$ Donc : $f^{''} (x) = \frac{- 5 + 6 ln ( x )}{x ^{4}}$

6. a. Pour tout $x > 0$ , on a $x^{4} > 0$ . Le signe de $f^{''} (x)$ est donc celui de $- 5 + 6 ln (x)$ . $- 5 + 6 ln (x) = 0 \Leftrightarrow ln (x) = \frac{5}{6} \Leftrightarrow x = e^{\frac{5}{6}}$ Ainsi, $f^{''} (x) < 0$ sur $] 0; e^{\frac{5}{6}} [$ , puis $f^{''} (x) > 0$ sur $] e^{\frac{5}{6}}; + \infty [$ . La fonction $f$ est donc concave sur $] 0; e^{\frac{5}{6}}]$ , puis convexe sur $[e^{\frac{5}{6}}; + \infty [$ . La convexité change en $x = e^{\frac{5}{6}}$ , donc la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $e^{\frac{5}{6}}$ . Son ordonnée est : $f (e^{\frac{5}{6}}) = \frac{ln ( e ^{\frac{5}{6}} )}{( e ^{\frac{5}{6}} ) ^{2}} = \frac{\frac{5}{6}}{e ^{\frac{5}{3}}} = \frac{5}{6 e ^{\frac{5}{3}}}$ Le point d'inflexion a donc pour coordonnées : $(e^{\frac{5}{6}}; \frac{5}{6 e ^{\frac{5}{3}}})$

6. b. Sur l'intervalle $] 0; e^{\frac{5}{6}}]$ , la fonction $f$ est concave. Or, sur une fonction concave, la courbe est située en dessous de ses tangentes. En particulier, elle est située en dessous de la tangente d'abscisse $1$ . D'après la question 4, cette tangente a pour équation $y = x - 1$ . Donc, pour tout $x \in] 0; e^{\frac{5}{6}}]$ , on a : $f (x) \leq x - 1$ $\Leftrightarrow \frac{ln ( x )}{x ^{2}} \leq x - 1$ $\Leftrightarrow x - 1 \geq \frac{ln ( x )}{x ^{2}}$

7. On pose, pour $x > 0$ : $g (x) = x - 1 - \frac{ln ( x )}{x ^{2}}$ On veut montrer que $g (x) \geq 0$ sur $[e^{\frac{5}{6}}; + \infty [$ . D'après la question précédente, on sait déjà que $g (e^{\frac{5}{6}}) \geq 0$ . De plus : $g^{'} (x) = 1 - f^{'} (x)$ . Or, sur $[e^{\frac{5}{6}}; + \infty [$ , on a $x > e$ , donc $f^{'} (x) < 0$ . Ainsi : $g^{'} (x) = 1 - f^{'} (x) > 0$ La fonction $g$ est donc croissante sur $[e^{\frac{5}{6}}; + \infty [$ . Ainsi, pour tout $x \geq e^{\frac{5}{6}}$ , on a : $g (x) \geq g (e^{\frac{5}{6}}) \geq 0$ Donc : $x - 1 - \frac{ln ( x )}{x ^{2}} \geq 0$ Finalement, pour tout $x \in [e^{\frac{5}{6}}; + \infty [$ , on a : $x - 1 \geq \frac{ln ( x )}{x ^{2}}$

Partie B

1. Pour $x \geq 1$ , on a $ln (x) \geq 0$ , donc $f (x) \geq 0$ . Ainsi, pour tout entier naturel non nul $n$ , l'intégrale $I_{n} = \int_{1}^{n} \frac{ln ( x )}{x ^{2}} d x$ représente l'aire, en unités d'aire, du domaine situé sous la courbe $C_{f}$ , au-dessus de l'axe des abscisses, entre les droites d'équations $x = 1$ et $x = n$ . Pour $n = 1$ , cette aire est nulle.

2. Pour tout entier naturel non nul $n$ , on a : $I_{n + 1} - I_{n} = \int_{1}^{n + 1} f (x) d x - \int_{1}^{n} f (x) d x = \int_{n}^{n + 1} f (x) d x$ Or, pour $x \geq 1$ , on a $f (x) \geq 0$ . Donc : $\int_{n}^{n + 1} f (x) d x \geq 0$ Ainsi : $I_{n + 1} - I_{n} \geq 0$ La suite $(I_{n})$ est donc croissante.

3. Le premier rectangle, sur l'intervalle $[1; 2]$ , a pour hauteur le maximum de la fonction $f$ , c'est-à-dire $\frac{1}{2 e}$ . Les autres rectangles ont une largeur égale à $1$ , et pour hauteur $f (i)$ , avec $i$ allant de $2$ à $9$ . Il faut donc compléter le script ainsi :

from math import *
S = 1 / (2 * exp(1))
for i in range (2,10):
    S = S + log(i) / (i**2)
print(S)

4. On effectue une intégration par parties avec : $u (x) = ln (x) u^{'} (x) = \frac{1}{x}$ $v (x) = - \frac{1}{x} v^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ Donc : $I_{n} = [- \frac{ln ( x )}{x}]_{1}^{n} - \int_{1}^{n} (- \frac{1}{x}) \times \frac{1}{x} d x = - \frac{ln ( n )}{n} + \int_{1}^{n} \frac{1}{x ^{2}} d x$ Or : $\int_{1}^{n} \frac{1}{x ^{2}} d x = [- \frac{1}{x}]_{1}^{n} = 1 - \frac{1}{n}$ Ainsi : $I_{n} = - \frac{ln ( n )}{n} + 1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1 - ln ( n )}{n}$

5. On utilise l'expression obtenue à la question précédente : $I_{n} = \frac{n - 1 - ln ( n )}{n} = 1 - \frac{1}{n} - \frac{ln ( n )}{n}$ Quand $n$ tend vers $+ \infty$ , on a : $\frac{1}{n} \to 0 et \frac{ln ( n )}{n} \to 0$ Donc : $n \to + \infty lim I_{n} = 1$

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