Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2019 session normale — Exercice 2 : Nombres complexes

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2019. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1) Résoudre dans l'ensemble $C$ des nombres complexes l'équation : $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ .

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d'affixes respectives $a = 1 - i 3$ , $b = 2 + 2 i$ , $c = 3 + i$ et $d = - 2 + 23$ .

2.a) Vérifier que $a - d = - 3 (c - d)$ .

2.b) En déduire que les points $A$ , $C$ et $D$ sont alignés.

3) On considère $z$ l'affixe d'un point $M$ et $z^{'}$ l'affixe de $M^{'}$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $- \frac{π}{3}$ . Vérifier que $z^{'} = \frac{1}{2} a z$ .

4) Soient $H$ l'image du point $B$ par la rotation $R$ , $h$ son affixe, et $P$ le point d'affixe $p$ tel que $p = a - c$ .

4.a) Vérifier que $h = i p$ .

4.b) Montrer que le triangle $O H P$ est rectangle et isocèle en $O$ .

Corrigé

1) Résoudre dans $C$ : $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ .

Rappel. Discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Si $Δ < 0$ , deux solutions complexes conjuguées : $z = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}$ .

Avec $a = 1, b = - 2, c = 4$ : $Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = - 12 < 0, ∣Δ∣ = 12 = 23 .$ $z = \frac{2 \pm i 2 3}{2} = 1 \pm i 3 .$

⇒

S = {1 - i 3; 1 + i 3}

2) On pose $a = 1 - i 3, b = 2 + 2 i, c = 3 + i, d = - 2 + 23$ .

2.a) Vérifier que $a - d = - 3 (c - d)$ .

On calcule séparément les deux membres. Membre de gauche : $a - d = (1 - i 3) - (- 2 + 23) = 1 - i 3 + 2 - 23 = (3 - 23) - i 3 .$ Membre de droite : $c - d = (3 + i) - (- 2 + 23) = (2 - 3) + i,$ $- 3 (c - d) = - 3 (2 - 3) - 3 i = (- 23 + 3) - i 3 = (3 - 23) - i 3 .$ Les deux membres sont égaux.

⇒

a - d = - 3 (c - d)

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