Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2019 session normale — Problème · Partie II : étude de la suite $(u_n)$ avec $u_{n+1}=f(u_n)$

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1.a) Montrer par récurrence que $1\le u_n\le e$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Méthode. Récurrence : on vérifie au rang $0$ (initialisation), puis on suppose la propriété vraie au rang $n$ pour la démontrer au rang $n+1$ (hérédité).

Initialisation. $u_0=1$, et $1\le 1\le e$ (vrai car $e\approx 2,72\ge 1$). Vrai au rang $0$. Hérédité. Supposons $1\le u_n\le e$. D'après le tableau de variations, $f$ est croissante sur $[1,+\infty [$, donc sur $[1,e]$. En appliquant $f$ (qui conserve l'ordre) : $$f(1)\le f(u_n)\le f(e).$$ Or $f(1)=\frac{3}{2}$ et $f(e)=e$ (car $f(e)-e=\frac{1}{2}(\ln e-1{)}^2=\frac{1}{2}(1-1{)}^2=0$), et $u_{n+1}=f(u_n)$. Donc $$\frac{3}{2}\le u_{n+1}\le e,\text{et comme }\frac{3}{2}\ge 1:1\le u_{n+1}\le e.$$