Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2019 session de rattrapage — Exercice 2 : Nombres complexes

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2019. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1.a) Résoudre dans l'ensemble $C$ des nombres complexes l'équation : $z^{2} - 3 z + 3 = 0$ .

1.b) On considère le nombre complexe $a = \frac{3}{2} - i \frac{3}{2}$ . Écrire $a$ sous forme trigonométrique.

2) On considère le nombre complexe $b = \frac{2}{2} (1 + i)$ . Vérifier que $b^{2} = i$ .

3) On considère le nombre complexe $h = cos \frac{π}{12} + i sin \frac{π}{12}$ . Montrer que $h^{4} + 1 = a ˉ$ .

4) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère le point $B$ d'affixe $b$ et la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{2}$ .

4.a) Soit $c$ l'affixe du point $C$ image du point $B$ par la rotation $R$ . Montrer que $c = ib$ .

4.b) En déduire la nature du triangle $O B C$ .

Corrigé

1.a) Résoudre dans $C$ : $z^{2} - 3 z + 3 = 0$ .

Rappel. $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Si $Δ < 0$ : $z = \frac{- b \pm i ∣Δ∣}{2 a}$ .

$Δ = (- 3)^{2} - 4 (1) (3) = 9 - 12 = - 3 = (i 3)^{2} < 0$ , donc $z = \frac{3 \pm i 3}{2} .$ $S = {\frac{3 - i 3}{2}; \frac{3 + i 3}{2}}$ .

1.b) Écrire $a = \frac{3}{2} - i \frac{3}{2}$ sous forme trigonométrique.

Rappel. Forme trigonométrique : $a = ∣ a ∣ (cos θ + i sin θ)$ , avec $cos θ = \frac{Re ( a )}{∣ a ∣}$ et $sin θ = \frac{Im ( a )}{∣ a ∣}$ .

Module : $∣ a ∣ = (\frac{3}{2})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = 3 .$ $cos θ = \frac{3/2}{3} = \frac{3}{2}, sin θ = \frac{- 3 /2}{3} = - \frac{1}{2} ⟹ θ = - \frac{π}{6} .$

⇒

a = 3 (cos (- \frac{π}{6}) + i sin (- \frac{π}{6}))

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