Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2019 session de rattrapage — Problème · Partie I : étude complète de $f$ (limites, variations, aire)

1.a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et interprétation.

Quand $x\to -\infty$ : $\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}\to 1$, donc ${\left(\frac{x-2}{x}\right)}^2\to 1$ ; et $e^{x-4}\to 0$. Le produit $\to 0$, donc $$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=2.}$$

1.b) $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ et interprétation.

Quand $x\to 0$ : $\frac{x-2}{x}\to \frac{-2}{0}=\pm \infty$, donc ${\left(\frac{x-2}{x}\right)}^2\to +\infty$ ; et $e^{x-4}\to e^{-4}>0$. Donc $$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=+\infty .}$$

2.a) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

Quand $x\to +\infty$ : ${\left(\frac{x-2}{x}\right)}^2\to 1$ et $e^{x-4}\to +\infty$, donc $$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .}$$

2.b) Branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

Rappel. Si $f(x)\to +\infty$ et $\frac{f(x)}{x}\to +\infty$, alors $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées $(Oy)$.

$$\frac{f(x)}{x}=\frac{2}{x}+8{\left(\frac{x-2}{x}\right)}^2\frac{e^{x-4}}{x}.$$ Quand $x\to +\infty$ : $\frac{2}{x}\to 0$, ${\left(\frac{x-2}{x}\right)}^2\to 1$, et $\frac{e^{x-4}}{x}\to +\infty$ (l'exponentielle l'emporte sur $x$). Donc $\frac{f(x)}{x}\to +\infty$.

3.a) Montrer $f^{\prime }(x)=\frac{8(x-2)(x^2-2x+4)e^{x-4}}{x^3}$.

Méthode. On pose $\phi (x)=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$ (donc ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{2}{x^2}$) et on dérive $f=2+8{\phi }^2{e}^{x-4}$ avec la règle du produit : $({\phi }^2{e}^{x-4}{)}^{\prime }=({\phi }^2{)}^{\prime }{e}^{x-4}+{\phi }^2{e}^{x-4}$.

On a $({\phi }^2{)}^{\prime }=2\phi {\phi }^{\prime }=2\cdot \frac{x-2}{x}\cdot \frac{2}{x^2}=\frac{4(x-2)}{x^3}$, d'où $$({\phi }^2{e}^{x-4}{)}^{\prime }=e^{x-4}\left(\frac{4(x-2)}{x^3}+\frac{(x-2{)}^2}{x^2}\right)=e^{x-4}\frac{4(x-2)+x(x-2{)}^2}{x^3}.$$ On factorise par $(x-2)$ au numérateur : $$4(x-2)+x(x-2{)}^2=(x-2)(4+x(x-2))=(x-2)(x^2-2x+4).$$ En multipliant par $8$ : $$\boxed{f^{\prime }(x)=\frac{8(x-2)(x^2-2x+4)e^{x-4}}{x^3}.}$$

3.b) Vérifier que $x^2-2x+4>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

$$x^2-2x+4=(x-1{)}^2+3\ge 3>0.$$

3.c) Sens de variation de $f$.

Dans $f^{\prime }(x)$, les facteurs $8$, $x^2-2x+4$ et $e^{x-4}$ sont $>0$. Donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $\frac{x-2}{x^3}$ : [leftmargin=1.6em,itemsep=1pt,topsep=2pt]

• $x\in ]-\infty ,0[$ : $x-2<0$ et $x^3<0$ $\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$ : $f$ croissante ;
• $x\in ]0,2]$ : $x-2\le 0$ et $x^3>0$ $\Rightarrow f^{\prime }(x)\le 0$ : $f$ décroissante ;
• $x\in [2,+\infty [$ : $x-2\ge 0$ et $x^3>0$ $\Rightarrow f^{\prime }(x)\ge 0$ : $f$ croissante.

3.d) Tableau de variations de $f$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Valeurs utiles : $\underset{-\infty }{\lim }f=2$, $\underset{0}{\lim }f=+\infty$, $\underset{+\infty }{\lim }f=+\infty$, et $f(2)=2+8\cdot 0\cdot e^{-2}=2$.