Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2019 session de rattrapage — Problème · Partie II : fonction auxiliaire $g$ et suite $(u_{n})$

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2019. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1) On considère la fonction g définie sur $[2, 4]$ par : $g (x) = 8 (x - 2) e^{x - 4} - x^{2}$ .

1.a) Calculer $g (4)$ .

1.b) Vérifier que pour tout $x \in [2, 4]$ , $g (x) = - (x - 4)^{2} e^{x - 4} + x^{2} (e^{x - 4} - 1)$ .

1.c) Vérifier que pour tout $x \in [2, 4]$ , $e^{x - 4} - 1 \leq 0$ , puis en déduire que pour tout $x \in [2, 4]$ , $g (x) \leq 0$ .

2.a) Vérifier que pour tout $x \in [2, 4]$ , $f (x) - x = \frac{( x - 2 ) g ( x )}{x ^{2}}$ .

2.b) En déduire que pour tout $x \in [2, 4]$ , $f (x) \leq x$ .

3) Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n \in N$ .

3.a) Montrer par récurrence que $2 \leq u_{n} \leq 4$ pour tout $n \in N$ .

3.b) Déterminer la monotonie de la suite $(u_{n})$ et en déduire qu'elle est convergente.

3.c) Calculer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Corrigé

1) On pose $g (x) = 8 (x - 2) e^{x - 4} - x^{2}$ sur $[2, 4]$ .

1.a) Calculer $g (4)$ . $g (4) = 8 (4 - 2) e^{0} - 4^{2} = 16 - 16 = 0 .$

1.b) Vérifier $g (x) = - (x - 4)^{2} e^{x - 4} + x^{2} (e^{x - 4} - 1)$ sur $[2, 4]$ .

On développe le membre de droite : $- (x^{2} - 8 x + 16) e^{x - 4} + x^{2} e^{x - 4} - x^{2} = [- (x^{2} - 8 x + 16) + x^{2}] e^{x - 4} - x^{2} = (8 x - 16) e^{x - 4} - x^{2},$ soit $8 (x - 2) e^{x - 4} - x^{2} = g (x)$ . $✓$

1.c) Montrer $e^{x - 4} - 1 \leq 0$ , puis $g (x) \leq 0$ sur $[2, 4]$ .

Pour $x \in [2, 4]$ : $x - 4 \leq 0$ , donc $e^{x - 4} \leq e^{0} = 1$ , d'où $e^{x - 4} - 1 \leq 0$ . Dans l'écriture précédente : $\leq 0 - (x - 4)^{2} > 0 e^{x - 4} \leq 0 et \geq 0 x^{2} \leq 0 (e^{x - 4} - 1) \leq 0.$ La somme de deux quantités négatives est négative.

⇒

g (x) \leq 0

pour tout

x \in [2, 4]

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