Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session normale — Exercice 1 : Suites numériques

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2020. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = \frac{3}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n}}{2 u _{n} + 5}$ pour tout $n \in N$ .

1) Calculer $u_{1}$ .

2) Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ , $u_{n} > 0$ .

3.a) Montrer que pour tout $n \in N$ , $0 < u_{n + 1} \leq \frac{2}{5} u_{n}$ .

3.b) En déduire que pour tout $n \in N$ , $0 < u_{n} \leq \frac{3}{2} (\frac{2}{5})^{n}$ , puis calculer la limite de la suite $(u_{n})$ .

4) On considère la suite numérique $(v_{n})$ définie par $v_{n} = \frac{4 u _{n}}{2 u _{n} + 3}$ pour tout $n \in N$ .

4.a) Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$ .

4.b) Déterminer $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis en déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n \in N$ .

Corrigé

$(u_{n})$ : $u_{0} = \frac{3}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n}}{2 u _{n} + 5}$ .

1) Calculer $u_{1}$ . $u_{1} = \frac{2 u _{0}}{2 u _{0} + 5} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{2 \cdot \frac{3}{2} + 5} = \frac{3}{3 + 5} = \frac{3}{8} .$

2) Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout $n$ .

Initialisation. $u_{0} = \frac{3}{2} > 0$ : vrai au rang $0$ . Hérédité. Supposons $u_{n} > 0$ . Alors $2 u_{n} > 0$ et $2 u_{n} + 5 > 0$ , donc le quotient $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n}}{2 u _{n} + 5} > 0$ .

⇒ Par récurrence,

u_{n} > 0

pour tout

n \in N

3.a) Montrer que $0 < u_{n + 1} \leq \frac{2}{5} u_{n}$ .

Méthode. On écrit $u_{n + 1} = \frac{2}{2 u _{n} + 5} u_{n}$ et on majore le facteur $\frac{2}{2 u _{n} + 5}$ .

Comme $u_{n} > 0$ : $2 u_{n} + 5 > 5 \Rightarrow \frac{1}{2 u _{n} + 5} < \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{2}{2 u _{n} + 5} < \frac{2}{5} .$ En multipliant par $u_{n} > 0$ :

⇒

0 < u_{n + 1} \leq \frac{2}{5} u_{n}

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