Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session normale — Exercice 2 : Nombres complexes

1) Dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, on considère l'équation : $$(E):z^2-2(\sqrt{6}+\sqrt{2})z+16=0$$

1.a) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta =-4(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2$.

1.b) En déduire les solutions de l'équation $(E)$.

2) Soient les nombres complexes $a=(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})$, $b=1+i\sqrt{3}$ et $c=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$.

2.a) Vérifier que $b\bar{c}=a$, puis en déduire que $ac=4b$.

2.b) Écrire les nombres complexes $b$ et $c$ sous forme trigonométrique.

2.c) En déduire que $a=4\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)$.

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $b$, $c$ et $d=a^4$. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{12}$.

3.a) Pour tout point $M$ d'affixe $z$, vérifier que l'affixe $z^{\prime }$ de son image $M^{\prime }$ par $R$ est $z^{\prime }=\frac{1}{4}az$.

3.b) Déterminer l'image du point $C$ par la rotation $R$.

3.c) Déterminer la nature du triangle $OBC$.

3.d) Montrer que $a^4=128b$, puis en déduire que les points $O$, $B$ et $D$ sont alignés.