Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session normale — Exercice 3 : Fonction et croissances comparées

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2020. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction numérique $g$ définie sur $] 0, + \infty [$ par : $g (x) = 2 x - 2 - ln x$

1.a) Montrer que pour tout $x \in] 0, + \infty [$ , $g^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ .

1.b) Montrer que $g$ est croissante sur $[1, + \infty [$ .

1.c) En déduire que pour tout $x \in [1, + \infty [$ , $0 \leq ln x \leq 2 x$ (remarquer que $2 x - 2 \leq 2 x$ ).

1.d) Montrer que pour tout $x \in [1, + \infty [$ , $0 \leq \frac{( l n x ) ^{3}}{x ^{2}} \leq \frac{8}{x}$ , puis en déduire $x \to + \infty lim \frac{( l n x ) ^{3}}{x ^{2}}$ .

2.a) Montrer que la fonction $G : x \mapsto x (- 1 + \frac{4}{3} x - ln x)$ est une primitive de $g$ sur $] 0, + \infty [$ .

2.b) Calculer l'intégrale $\int_{1}^{4} g (x) d x$ .

Corrigé

$g (x) = 2 x - 2 - ln x$ sur $] 0, + \infty [$ .

1.a) Montrer $g^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ .

Rappel. $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ et $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .

$g^{'} (x) = 2 \cdot \frac{1}{2 x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x} .$

1.b) Montrer que $g$ est croissante sur $[1, + \infty [$ .

Pour $x \geq 1$ : $x \geq 1$ , donc $x - 1 \geq 0$ ; et $x > 0$ . Ainsi $g^{'} (x) \geq 0$ .

⇒

g

est croissante sur

[1, + \infty [

1.c) En déduire $0 \leq ln x \leq 2 x$ sur $[1, + \infty [$ .

Pour $x \geq 1$ : $g (x) \geq g (1) = 2 - 2 - ln 1 = 0$ , donc $2 x - 2 - ln x \geq 0$ , soit $ln x \leq 2 x - 2$ . Comme $2 x - 2 \leq 2 x$ et $ln x \geq 0$ pour $x \geq 1$ :

⇒

0 \leq ln x \leq 2 x

pour tout

x \in [1, + \infty [

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