Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session normale — Problème · partie 1 : limites, asymptotes et branches

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2020. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $R$ par : $f (x) = - x + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} e^{x - 2} (e^{x - 2} - 4)$ Soit $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 2cm).

1) Montrer que $x \to - \infty lim f (x) = + \infty$ et $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ .

2.a) Démontrer que la droite $(Δ)$ d'équation $y = - x + \frac{5}{2}$ est asymptote à la courbe $(C_{f})$ au voisinage de $- \infty$ .

2.b) Résoudre l'équation $e^{x - 2} - 4 = 0$ , puis montrer que la courbe $(C_{f})$ est au-dessus de $(Δ)$ sur l'intervalle $] - \infty, 2 + ln 4]$ et en-dessous de $(Δ)$ sur $[2 + ln 4, + \infty [$ .

3) Montrer que $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = - \infty$ , puis interpréter géométriquement le résultat.

Corrigé

1) Montrer $x \to - \infty lim f (x) = + \infty$ et $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ .

En $- \infty$ : $e^{x - 2} \to 0$ et $e^{2 x - 4} \to 0$ , donc $f (x) \to - x + \frac{5}{2} \to + \infty$ (car $- x \to + \infty$ ). $x \to - \infty lim f (x) = + \infty.$ En $+ \infty$ : on met $e^{2 x - 4}$ en facteur : $f (x) = e^{2 x - 4} \to 0 - \frac{x}{e ^{2 x - 4}} + \to 0 \frac{5}{2 e ^{2 x - 4}} - \frac{1}{2} + \to 0 \frac{2}{e ^{x - 2}} .$ La parenthèse $\to - \frac{1}{2}$ et $e^{2 x - 4} \to + \infty$ , donc le produit $\to - \infty$ : $x \to + \infty lim f (x) = - \infty.$

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