Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session normale — Problème · partie 2 : variations, convexité et tracé

4.a) Montrer que $f^{\prime }(x)=-(e^{x-2}-1{)}^2$.

$$f^{\prime }(x)=-1-\frac{1}{2}(2e^{2x-4}-4e^{x-2})=-1-e^{2x-4}+2e^{x-2}.$$ On reconnaît une identité remarquable : $$-(e^{x-2}-1{)}^2=-(e^{2x-4}-2e^{x-2}+1)=-e^{2x-4}+2e^{x-2}-1=f^{\prime }(x).$$

4.b) Tableau de variations de $f$.

Pour tout $x$, $(e^{x-2}-1{)}^2\ge 0$, donc $f^{\prime }(x)\le 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Avec $\underset{-\infty }{\lim }f=+\infty$ et $\underset{+\infty }{\lim }f=-\infty$, et le point $f(2)=2$ (voir question 5) :

Remarque. $f^{\prime }(2)=0$ : la tangente en $A(2,2)$ est horizontale, mais $f^{\prime }$ ne change pas de signe, donc $f$ reste strictement décroissante ($A$ est un point d'inflexion, voir question 5).

5) Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et montrer que $A(2,2)$ est un point d'inflexion.

$$f^{\prime \prime }(x)=(-(e^{x-2}-1{)}^2{)}^{\prime }=-2(e^{x-2}-1)\cdot e^{x-2}.$$

Rappel. Point d'inflexion : $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe.

Comme $e^{x-2}>0$, le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ est celui de $-(e^{x-2}-1)$ : $$f^{\prime \prime }(x)=0⟺e^{x-2}=1⟺x=2,$$ avec $f^{\prime \prime }>0$ pour $x<2$ et $f^{\prime \prime }<0$ pour $x>2$ (changement de signe). Ordonnée : $$f(2)=-2+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}{e}^0(e^0-4)=-2+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}(1)(-3)=-2+\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=2.$$

6) Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ avec $2+\ln 3<\alpha <2+\ln 4$.

$f$ est continue et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$, avec $\underset{-\infty }{\lim }f=+\infty$ et $\underset{+\infty }{\lim }f=-\infty$ : elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Comme $0\in \mathbb{R}$, l'équation $f(x)=0$ a une unique solution $\alpha$. De plus : $$f(2+\ln 3)=-(2+\ln 3)+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}(3)(3-4)=2-\ln 3\approx 0,9>0,$$ $$f(2+\ln 4)=-(2+\ln 4)+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}(4)(4-4)=\frac{1}{2}-2\ln 2\approx -0,9<0.$$ Comme $f(2+\ln 3)$ et $f(2+\ln 4)$ sont de signes contraires :

7) Construire $(\Delta )$, $(C_f)$ puis $(C_{f^{-1}})$.

Repères : asymptote $(\Delta ):y=-x+\frac{5}{2}$ ; inflexion $A(2,2)$ ; $(C_f)$ au-dessus de $(\Delta )$ avant $x=2+\ln 4$, en-dessous après. La courbe de $f^{-1}$ est le symétrique de $(C_f)$ par rapport à la droite $y=x$ (et $(\Delta )$, perpendiculaire à $y=x$, est sa propre symétrique : elle est aussi asymptote à $(C_{f^{-1}})$).