Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session de rattrapage — Exercice 1 : Suites numériques

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2020. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{3 u _{n} - 8}{2 u _{n} - 5}$ pour tout $n \in N$ .

1) Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ , $u_{n} < 2$ .

2) On pose pour tout $n \in N$ , $v_{n} = \frac{u _{n} - 3}{u _{n} - 2}$ .

2.a) Montrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique de raison 2.

2.b) Écrire $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n \in N$ .

2.c) Calculer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Corrigé

$(u_{n})$ : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{3 u _{n} - 8}{2 u _{n} - 5}$ .

1) Montrer par récurrence que $u_{n} < 2$ pour tout $n$ .

Méthode. Pour comparer $u_{n + 1}$ à $2$ , on étudie le signe de $2 - u_{n + 1}$ (on le met sur un seul quotient).

Initialisation. $u_{0} = 1 < 2$ : vrai au rang $0$ . Hérédité. Supposons $u_{n} < 2$ . Alors $2 - u_{n + 1} = 2 - \frac{3 u _{n} - 8}{2 u _{n} - 5} = \frac{2 ( 2 u _{n} - 5 ) - ( 3 u _{n} - 8 )}{2 u _{n} - 5} = \frac{4 u _{n} - 10 - 3 u _{n} + 8}{2 u _{n} - 5} = \frac{u _{n} - 2}{2 u _{n} - 5} .$ Or $u_{n} < 2$ donne $u_{n} - 2 < 0$ , et $2 u_{n} < 4$ donne $2 u_{n} - 5 < - 1 < 0$ . Le quotient de deux négatifs est positif : $2 - u_{n + 1} > 0$ , donc $u_{n + 1} < 2$ .

⇒ Par récurrence,

u_{n} < 2

pour tout

n \in N

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