Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session de rattrapage — Exercice 2 : Nombres complexes

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session de rattrapage 2020. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $C$ l'équation : $z^{2} - 2 z + 2 = 0$ .

2) On considère le nombre complexe $a = \frac{2}{2} + i \frac{2}{2}$ .

2.a) Écrire $a$ sous forme trigonométrique et en déduire que $a^{2020}$ est un nombre réel.

2.b) Soit le nombre complexe $b = cos \frac{π}{8} + i sin \frac{π}{8}$ . Prouver que $b^{2} = a$ .

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$ , $b$ et $c = 1$ . La rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{8}$ transforme tout point $M$ d'affixe $z$ en un point $M^{'}$ d'affixe $z^{'}$ .

3.a) Vérifier que $z^{'} = b z$ .

3.b) Déterminer l'image de $C$ par $R$ , et montrer que $A$ est l'image de $B$ par $R$ .

4.a) Montrer que $∣ a - b ∣ = ∣ b - c ∣$ et en déduire la nature du triangle $A B C$ .

4.b) Déterminer une mesure de l'angle $(B A, B C)$ .

5) Soit $T$ la translation de vecteur $u$ (d'affixe 1) et $D$ l'image de $A$ par $T$ .

5.a) Vérifier que l'affixe $d$ de $D$ est $d = b^{2} + 1$ .

5.b) Montrer que $\frac{b ^{2} + 1}{b} = b + b ˉ$ , puis en déduire que les points $O$ , $B$ et $D$ sont alignés.

Corrigé

1) Résoudre $z^{2} - 2 z + 2 = 0$ dans $C$ .

$Δ = (- 2)^{2} - 4 (2) = - 4 = (2 i)^{2} < 0$ , donc $z = \frac{2 \pm 2 i}{2} = 1 \pm i$ .

⇒

S = {1 - i; 1 + i}

2) $a = \frac{2}{2} + i \frac{2}{2}$ .

2.a) Forme trigonométrique de $a$ ; montrer que $a^{2020} \in R$ .

$a = \frac{2}{2} + i \frac{2}{2} = cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4} = e^{iπ /4} .$

Rappel. Formule de Moivre : $(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}$ .

$a^{2020} = (e^{iπ /4})^{2020} = e^{i 505 π} = cos (505 π) + i sin (505 π) = - 1.$ ( $505$ est impair, donc $cos (505 π) = - 1$ et $sin (505 π) = 0$ .)

⇒

a^{2020} = - 1 \in R

2.b) $b = cos \frac{π}{8} + i sin \frac{π}{8}$ . Prouver que $b^{2} = a$ .

$b = e^{iπ /8}$ , donc $b^{2} = e^{iπ /4} = a$ .

⇒

b^{2} = a

3) $A$ , $B$ , $C$ d'affixes $a$ , $b$ , $c = 1$ ; $R$ rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{8}$ .

3.a) Vérifier $z^{'} = b z$ .

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