Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session de rattrapage — Exercice 3 : Fonctions, intégrale et minimum

1) On considère la fonction numérique $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=e^x-2x+2-3e^{-x}$.

1.a) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $u^{\prime }(x)=\frac{(e^x-1{)}^2+2}{e^x}$.

1.b) Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ (sans calcul de limites).

1.c) En déduire le signe de la fonction $u$ sur $\mathbb{R}$ (remarquer que $u(0)=0$).

2) Soit la fonction $v$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $v(x)=e^{2x}-2x{e}^x+2e^x-3$.

2.a) Vérifier que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $v(x)=e^{x}u(x)$.

2.b) En déduire le signe de la fonction $v$ sur $\mathbb{R}$.

3.a) Montrer que la fonction $W$ définie par $W(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+(4-2x)e^x-3x$ est une primitive de la fonction $v$ sur $\mathbb{R}$.

3.b) Calculer l'intégrale ${\int }_0^{2}v(x)\mathrm{d}x$.

3.c) Montrer que $\frac{9}{2}$ est le minimum absolu de la fonction $W$ sur $\mathbb{R}$.