Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session de rattrapage — Problème · Partie II : étude de $f(x)=(1-x)e^{1-x}-x^2+5x-3-2\ln x$

$f(x)=(1-x)e^{1-x}-x^2+5x-3-2\ln x$ sur $]0,+\infty [$.

1) Montrer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ et interpréter.

Quand $x\to 0^{+}$ : $(1-x)e^{1-x}\to e$, $-x^2+5x-3\to -3$, et $-2\ln x\to +\infty$ (car $\ln x\to -\infty$). Le terme $-2\ln x$ l'emporte : $$\boxed{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .}$$

2.a) Montrer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$.

Quand $x\to +\infty$ : $(1-x)e^{1-x}\to 0$ (l'exponentielle l'emporte), $-2\ln x\to -\infty$, et surtout $-x^2\to -\infty$ domine tout. $$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty .}$$

2.b) Montrer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=-\infty$ et interpréter.

$$\frac{f(x)}{x}=\frac{(1-x)e^{1-x}}{x}-x+5-\frac{3}{x}-\frac{2\ln x}{x}\underset{x\to +\infty }{\to }-\infty$$ (car $-x\to -\infty$ domine, les autres termes tendant vers $0$ ou une constante).

3.a) Montrer $f^{\prime }(x)=(x-2)g(x)$.

Méthode. On dérive $f$, puis on développe $(x-2)g(x)$ pour vérifier l'égalité.

Dérivée de $(1-x)e^{1-x}$ : $-e^{1-x}+(1-x)(-e^{1-x})=-e^{1-x}[1+(1-x)]=(x-2)e^{1-x}$. Donc $$f^{\prime }(x)=(x-2)e^{1-x}-2x+5-\frac{2}{x}.$$ Et en développant : $$\begin{array}{rl}(x-2)g(x)& =(x-2)e^{1-x}+(x-2)\cdot \frac{1}{x}-2(x-2)\\ & =(x-2)e^{1-x}+1-\frac{2}{x}-2x+4=(x-2)e^{1-x}-2x+5-\frac{2}{x}.\end{array}$$

3.b) Sens de variation de $f$.

On combine le signe de $(x-2)$ et celui de $g$ (Partie I) :

3.c) Tableau de variations de $f$ (on admet $f(2)\approx 1,25$).

Valeurs : $\underset{0^{+}}{\lim }f=+\infty$, $\underset{+\infty }{\lim }f=-\infty$, et $f(1)=(1-1)e^0-1+5-3-2\ln 1=1$.