Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2020 session de rattrapage — Problème · Partie III : suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=(1-x)e^{1-x}-x^2+5x-3-2\ln x$.

On pose $h(x)=f(x)-x$ pour tout $x\in [1,2]$.

1.a) À partir du tableau de variations de la fonction $h$ ci-dessous, montrer que $f(x)\le x$ pour tout $x\in [1,2]$.

1.b) Montrer que 1 est l'unique solution de l'équation $f(x)=x$ sur l'intervalle $[1,2]$.

2) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2.a) Montrer par récurrence que $1\le u_n\le 2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2.b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

2.c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.