Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2021 session normale — Exercice 2 : Suites numériques

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2021. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = \frac{1}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{3 - 2 u _{n}}$ pour tout $n \in N$ .

1) Calculer $u_{1}$ .

2) Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ , $0 < u_{n} \leq \frac{1}{2}$ .

3.a) Montrer que pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} \leq \frac{1}{2} u_{n}$ .

3.b) En déduire la monotonie de la suite $(u_{n})$ .

4.a) Montrer que pour tout $n \in N$ , $0 < u_{n} \leq (\frac{1}{2})^{n + 1}$ , puis calculer la limite de la suite $(u_{n})$ .

4.b) On pose $v_{n} = ln (3 - 2 u_{n})$ pour tout $n \in N$ . Calculer $n \to + \infty lim v_{n}$ .

5.a) Vérifier que pour tout $n \in N$ , $\frac{1}{u _{n + 1}} - 1 = 3 (\frac{1}{u _{n}} - 1)$ .

5.b) En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n \in N$ .

Corrigé

$(u_{n})$ : $u_{0} = \frac{1}{2}$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{3 - 2 u _{n}}$ .

1) Calculer $u_{1}$ . $u_{1} = \frac{u _{0}}{3 - 2 u _{0}} = \frac{1/2}{3 - 1} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} .$

2) Montrer par récurrence que $0 < u_{n} \leq \frac{1}{2}$ .

Initialisation. $u_{0} = \frac{1}{2}$ : $0 < \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}$ vrai. Hérédité. Supposons $0 < u_{n} \leq \frac{1}{2}$ . Alors $0 < 2 u_{n} \leq 1$ , donc $2 \leq 3 - 2 u_{n} < 3$ . $∙$ $u_{n} > 0$ et $3 - 2 u_{n} > 0$ donnent $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{3 - 2 u _{n}} > 0$ . $∙$ Pour la majoration, on étudie le signe de $u_{n + 1} - \frac{1}{2}$ : $u_{n + 1} - \frac{1}{2} = \frac{u _{n}}{3 - 2 u _{n}} - \frac{1}{2} = \frac{2 u _{n} - ( 3 - 2 u _{n} )}{2 ( 3 - 2 u _{n} )} = \frac{4 u _{n} - 3}{2 ( 3 - 2 u _{n} )} .$ Comme $u_{n} \leq \frac{1}{2}$ , $4 u_{n} \leq 2$ , donc $4 u_{n} - 3 \leq - 1 < 0$ ; et $3 - 2 u_{n} > 0$ . Ainsi $u_{n + 1} - \frac{1}{2} < 0$ .

⇒ Par récurrence,

0 < u_{n} \leq \frac{1}{2}

pour tout

n \in N

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