Corrigé bac maths Sciences Mathématiques (Maroc) 2021 session normale — Exercice 3 : Nombres complexes

Sujet de l'examen national du baccalauréat marocain, mathématiques, 2e année Bac Sciences Mathématiques, session normale 2021. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1) Résoudre dans l'ensemble $C$ des nombres complexes l'équation : $z^{2} - 3 z + 1 = 0$ .

2) Soient les nombres complexes $a = e^{iπ /6}$ et $b = \frac{3 + i 3}{2}$ .

2.a) Écrire $a$ sous forme algébrique.

2.b) Vérifier que $b = 3 a$ .

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ , on considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$ , $b$ et $c = a ˉ$ . Montrer que le point $B$ est l'image du point $A$ par une homothétie $h$ de centre $O$ dont on déterminera le rapport.

4) Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{π}{2}$ .

4.a) Pour tout point $M$ d'affixe $z$ , exprimer $z^{'}$ l'affixe du point $M^{'}$ image de $M$ par la rotation $R$ en fonction de $z$ et $a$ .

4.b) Soit $D$ l'image de $C$ par $R$ . Montrer que l'affixe $d$ de $D$ est $d = a + 1$ .

4.c) Soit $I$ le point d'affixe 1. Montrer que le quadrilatère $A D I O$ est un losange.

5.a) Vérifier que $d - b = \frac{3 - 1}{2} (1 - i)$ , puis en déduire un argument du nombre $d - b$ .

5.b) Écrire le nombre $1 - b$ sous forme trigonométrique.

5.c) En déduire une mesure de l'angle $(B I, B D)$ .

Corrigé

1) Résoudre $z^{2} - 3 z + 1 = 0$ dans $C$ .

$Δ = (- 3)^{2} - 4 = 3 - 4 = - 1 = i^{2} < 0$ , donc $z = \frac{3 \pm i}{2}$ . $S = {\frac{3 - i}{2}; \frac{3 + i}{2}}$ .

2) $a = e^{iπ /6}$ , $b = \frac{3 + i 3}{2}$ .

2.a) Forme algébrique de $a$ . $a = e^{iπ /6} = cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i .$

2.b) Vérifier $b = 3 a$ . $3 a = 3 (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i = \frac{3 + i 3}{2} = b . ✓$

3) Montrer que $B$ est l'image de $A$ par une homothétie de centre $O$ .

Comme $b = 3 a$ , on a $O B = 3 O A$ .

⇒

B = h (A)

où

h

est l'homothétie de centre

O

et de rapport

3

4) $R$ rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{π}{2}$ .

4.a) Exprimer $z^{'}$ en fonction de $z$ et $a$ .

Rappel. Rotation de centre $Ω$ (affixe $ω$ ) et d'angle $θ$ : $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ .

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